A=b o no?
Buongiorno.
déjà vu?
Siano $a$ e $b$ due numeri differenti e sia $c$ la loro media aritmetica. si avrà:
$(a+b)/2=c$
$a+b=2c$
moltiplicando per $ (a-b)$
$(a+b)(a-b)=2c(a-b)$
$a^2-b^2=2ac-2bc$
$a^2-2ac=b^2-2bc$
sommando $c^2$
$a^2-2ac+c^2=b^2-2bc+c^2$
$(a-c)^2=(b-c)^2$
da cui $ a=b $??
déjà vu?
Siano $a$ e $b$ due numeri differenti e sia $c$ la loro media aritmetica. si avrà:
$(a+b)/2=c$
$a+b=2c$
moltiplicando per $ (a-b)$
$(a+b)(a-b)=2c(a-b)$
$a^2-b^2=2ac-2bc$
$a^2-2ac=b^2-2bc$
sommando $c^2$
$a^2-2ac+c^2=b^2-2bc+c^2$
$(a-c)^2=(b-c)^2$
da cui $ a=b $??
Risposte
no. i passaggi sono giusti, senza trucco nè inganno fino a
$(a-c)^2=(b-c)^2$
che però non implica assolutamente $a=b
perchè secondo te??
$(a-c)^2=(b-c)^2$
che però non implica assolutamente $a=b
perchè secondo te??
Se
$(a-c)^2=(b-c)^2$
allora
$a-c=b-c$
$a-c+c=b$
$a=b$
o no?
$(a-c)^2=(b-c)^2$
allora
$a-c=b-c$
$a-c+c=b$
$a=b$
o no?
ma no.
$a^2=b^2$ mica implica $a=b$, bensì $|a|=|b|$
per farti un esempio $(5)^2=(-5)^2$ ma $5!=-5$
capito?
$a^2=b^2$ mica implica $a=b$, bensì $|a|=|b|$
per farti un esempio $(5)^2=(-5)^2$ ma $5!=-5$
capito?
OK. Capito.
$a!=b$ e $(a)^2=(-a)^2$,
quindi la mia dimostrazione è errata, ma ora chiedo:
siamo sicuri che i passaggi siano giusti, senza trucco nè inganno fino a $(a-c)^2=(b-c)^2$ compreso, o no?
$a!=b$ e $(a)^2=(-a)^2$,
quindi la mia dimostrazione è errata, ma ora chiedo:
siamo sicuri che i passaggi siano giusti, senza trucco nè inganno fino a $(a-c)^2=(b-c)^2$ compreso, o no?
ma certo, sicccome $c=(a+b)/2$, ti basta sostituire e vedi che ottieni un'uguaglianza.
Non è che la quantità $ b^2-2bc+c^2$ si può anche considerare come
$(c-b)^2$ e quindi si avrebbe:
$(a-c)^2 = (c-b)^2$ ossia $ a-c=c-b$
cioè $ a+b = 2c $ come nella ipotesi di partenza?
.
$(c-b)^2$ e quindi si avrebbe:
$(a-c)^2 = (c-b)^2$ ossia $ a-c=c-b$
cioè $ a+b = 2c $ come nella ipotesi di partenza?
.
apparentemente sei arrivato alle conclusione esatta, ma secondo me non hai capito davvero il ragionamento che ci sta dietro:
infatti continui a dire che $z^2=x^2$ implica $z=x$ (uso $z$ e$x$ a caso, non importa come le chiamiamo)
e questo non è vero. devi comprendere cos'è il modulo, l'implicazione giusta è, te lo dico ancora,
$(a-c)^2=(b-c)^2$ $\Rightarrow$ $|a-c|=|b-c|$
da qui poi in effetti ricavi la condizione di partenza $a+b=2c$, ma non proprio come dici tu
infatti continui a dire che $z^2=x^2$ implica $z=x$ (uso $z$ e$x$ a caso, non importa come le chiamiamo)
e questo non è vero. devi comprendere cos'è il modulo, l'implicazione giusta è, te lo dico ancora,
$(a-c)^2=(b-c)^2$ $\Rightarrow$ $|a-c|=|b-c|$
da qui poi in effetti ricavi la condizione di partenza $a+b=2c$, ma non proprio come dici tu
Quando moltiplichi entrambi i membri per $ a-b $, ottieni una equazione equivalente solo se $ a-b != 0 $ cioè $ a != b $ in caso contrario acquisti delle soluzioni. per questo alla fine ti ritrovi, oltre che le soluzioni dell'equazione di partenza $ (a+b)=2c $ anche quelle che annullano il fattore per cui hai moltiplicato, cioè a = b.
E la soluzione $a = b$ è sbagliata perchè significherebbe moltiplicare per zero.
Quindi non si può, oltre che dividere, moltiplicare per zero?
Oppure escludo perhè avevo stabilito all'inizio che a$!=$b?
Quindi non si può, oltre che dividere, moltiplicare per zero?
Oppure escludo perhè avevo stabilito all'inizio che a$!=$b?
"tesseratto":
E la soluzione $a = b$ è sbagliata perchè significherebbe moltiplicare per zero.
Quindi non si può, oltre che dividere, moltiplicare per zero?
Oppure escludo perhè avevo stabilito all'inizio che a$!=$b?
se moltiplichi per zero entrambi i lati di una equazione questa per de senso, no?
infatti il secondo principio di equivalenza specifica diverso da zero
Non è che l'equazione perde senso: [tex]0=0[/tex] continua ad avere senso, è che l'equazione risulta indeterminata.
O l'equazione che si ottiene non è equivalente a quella data.
Mi pare sia questa la definizione giusta.
Per cui se cerco di semplificare un'equazione, e moltiplico ambo i membri per un monomio contenente la variabile, devo specificare che quel monomio sia diverso da zero.
Però in questo modo elimino una soluzione.
Quindi devo alla fine verificare che la soluzione scartata vada o non vada ad essere soluzione dell'equazione originaria. Giusto?
cioè se ho
$(x - a)/a =b$
e moltiplico tutto per $a$ (specificando $a!=0$)e poi risolvo trovando le soluzioni della nuova equazione.
Poi verifico nell'equazione originaria, cioè $(x - a)/a =b$ se $a!=0$ è soluzione.
Ho detto giusto?
Mi pare sia questa la definizione giusta.
Per cui se cerco di semplificare un'equazione, e moltiplico ambo i membri per un monomio contenente la variabile, devo specificare che quel monomio sia diverso da zero.
Però in questo modo elimino una soluzione.
Quindi devo alla fine verificare che la soluzione scartata vada o non vada ad essere soluzione dell'equazione originaria. Giusto?
cioè se ho
$(x - a)/a =b$
e moltiplico tutto per $a$ (specificando $a!=0$)e poi risolvo trovando le soluzioni della nuova equazione.
Poi verifico nell'equazione originaria, cioè $(x - a)/a =b$ se $a!=0$ è soluzione.
Ho detto giusto?
"WiZaRd":
Non è che l'equazione perde senso: [tex]0=0[/tex] continua ad avere senso, è che l'equazione risulta indeterminata.
no ha ragione tesseratto...
comunque il senso si e' capito
"tesseratto":
O l'equazione che si ottiene non è equivalente a quella data.
Mi pare sia questa la definizione giusta.
Per cui se cerco di semplificare un'equazione, e moltiplico ambo i membri per un monomio contenente la variabile, devo specificare che quel monomio sia diverso da zero.
Però in questo modo elimino una soluzione.
Quindi devo alla fine verificare che la soluzione scartata vada o non vada ad essere soluzione dell'equazione originaria. Giusto?
cioè se ho
$(x - a)/a =b$
e moltiplico tutto per $a$ (specificando $a!=0$)e poi risolvo trovando le soluzioni della nuova equazione.
Poi verifico nell'equazione originaria, cioè $(x - a)/a =b$ se $a!=0$ è soluzione.
Ho detto giusto?
umh alla fine volevi dire a=0?
perche' se a e' diverso da zero le soluzioni le moltiplicando l'equazione originale per a.
(in questo caso a e' diverso da zero altrimenti LHS non esisterebbe)
Scusatemi faccio un passo indietro. Prima l'autore del post diceva:
$(a-c)^2=(b-c)^2$ implica $a=b$
mentre si faceva poi notare che questo non è vero perché
$a^2=b^2$ non implica che $a=b$ ma solo che $|a|=|b|$.
Però se non sbaglio la questione è diversa perché se:
$(a-c)^2=(b-c)^2$ ed esplicitiamo che $c !=0$ allora deve forzosamente valere
anche $a=b$. Quindi la dimostrazione iniziale è completa.
Sbaglio?
$(a-c)^2=(b-c)^2$ implica $a=b$
mentre si faceva poi notare che questo non è vero perché
$a^2=b^2$ non implica che $a=b$ ma solo che $|a|=|b|$.
Però se non sbaglio la questione è diversa perché se:
$(a-c)^2=(b-c)^2$ ed esplicitiamo che $c !=0$ allora deve forzosamente valere
anche $a=b$. Quindi la dimostrazione iniziale è completa.
Sbaglio?
si sbagli,
ti faccio un esempio:
[tex]a=4 , b=8, c=6[/tex]
quindi abbiamo
[tex](4-6)^2=(8-6)^2[/tex] ma evidentemente $a!= b$
ti faccio un esempio:
[tex]a=4 , b=8, c=6[/tex]
quindi abbiamo
[tex](4-6)^2=(8-6)^2[/tex] ma evidentemente $a!= b$
Basta pensare ad [tex]a^{2}=b^{2}[/tex] come ad un'equazione di secondo grado in incognita [tex]a[/tex] (risp. [tex]b[/tex]) per ottenere meccanicamente [tex]a=\pm b[/tex] (risp. [tex]b=\pm a[/tex]) che "taglia la testa al toro".
E' vero, la fretta mi ha fregato 
Tra l'altro potresti immaginare a e b come gli estremi di un segmento sul piano del quale c è il punto medio
$(a-c)^2=(b-c)^2 => |a-c|=|b-c|$
Sarebbe a dire che il modulo della distanza di a da c è uguale al modulo della distanza di b da c, infatti questo è il significato di punto medio.
$(a-c)^2=(b-c)^2 => |a-c|=|b-c|$
Sarebbe a dire che il modulo della distanza di a da c è uguale al modulo della distanza di b da c, infatti questo è il significato di punto medio.
Ma allora se interpreto quella di prima come un'equazione e l'incognita la chiamo $x$ (tanto per chiarezza),
devo procedere come segue:
$(x-c)^2=(b-c)^2$ da cui
$|x-c|=|b-c|$ quindi io procederei così:
$x-c=b-c$ se $x-c>=0$
$-(x-c)=b-c$ se $x-c<0$
da cui nel primo caso
$x=b$
e nel secondo caso
$x=2c-b$
d'altra parte risolvendo l'equazione di secondo grado scrivendola in forma canonica (ovvero mantenendola
di secondo grado) si ottengono gli stessi risultati.
Ne dedurrei che nelle equazioni di grado secondo semplificare gli esponenti, dove possibile, in generale
non è da fare a meno di ricondursi al modulo come ho fatto sopra. Se si semplifica "bellamente"
(il che per diamine sembrerebbe lecito!) si perde una soluzione. Siete d'accordo?
E se l'equazione fosse di grado $n$ generico?
La semplificazione degli esponenti tra membro di destra
e di sinistra, dove possibile, sembrerebbe un passo tanto comodo e lecito.
Eppure evidentemente si deve fare maggiore attenzione.
Qualcuno sa darmi lumi?
devo procedere come segue:
$(x-c)^2=(b-c)^2$ da cui
$|x-c|=|b-c|$ quindi io procederei così:
$x-c=b-c$ se $x-c>=0$
$-(x-c)=b-c$ se $x-c<0$
da cui nel primo caso
$x=b$
e nel secondo caso
$x=2c-b$
d'altra parte risolvendo l'equazione di secondo grado scrivendola in forma canonica (ovvero mantenendola
di secondo grado) si ottengono gli stessi risultati.
Ne dedurrei che nelle equazioni di grado secondo semplificare gli esponenti, dove possibile, in generale
non è da fare a meno di ricondursi al modulo come ho fatto sopra. Se si semplifica "bellamente"
(il che per diamine sembrerebbe lecito!) si perde una soluzione. Siete d'accordo?
E se l'equazione fosse di grado $n$ generico?
La semplificazione degli esponenti tra membro di destra
e di sinistra, dove possibile, sembrerebbe un passo tanto comodo e lecito.
Eppure evidentemente si deve fare maggiore attenzione.
Qualcuno sa darmi lumi?
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