AAAA

[john_doe22661]

La somma dei quadrati di tre numeri dispari positivi consecutivi è un numero di quattro cifre uguali tra loro. Qual è il più piccolo dei tre numeri dispari?

[xXStephXx]

41


Mi è piaciuto molto questo problema.
Il ragionamento è stato...
Se il primo numero della serie è divisibile per $3$, il secondo sarà congruo a $2$ modulo $3$ e il terzo sarà congruo a $1$ modulo $3$.
Il pattern è sempre questo sia che il primo sia congruo a $1$, sia congruo a $2$ che congruo a $0$ modulo $3$.
Quindi i quadrati hanno resto $0$, resto $1$ ($2*2-=1(mod3)$) e resto $1$. Quindi la somma ha resto $2$.
I numeri di $4$ cifre con resto $2$ sono:
$2222$
$5555$
$8888$

solo che se i numeri sono dispari hanno resto $1$ divisi per $2$, quindi la somma è $5555$ (l'unica congrua a $1$ modulo $2$)

Ora faccio $n^2 + (n+2)^2 + (n+4)^2 = 5555$
Risolvendo ottengo $n=41$.

[Xato]

"john_doe2266":La somma dei quadrati di tre numeri dispari positivi consecutivi è un numero di quattro cifre uguali tra loro. Qual è il più piccolo dei tre numeri dispari?

indicando con n il primo dei numeri naturali dispari cercato e con x l'unica cifra che compone il risultato
se la soluzione esiste allora il discriminante della equazione

$ n^2 +(n+2)^2+(n+4)^2=1000*x+100*x+10*x+x $
deve essere un quadrato perfetto.

dovendo x variare tra 1 e 9 e' facile pervenire al risultato:
il numero dispari cercato è pertanto..... omissis....
e la cifra è il numero 5.

[linuxloverstaff]

"john_doe2266":La somma dei quadrati di tre numeri dispari positivi consecutivi è un numero di quattro cifre uguali tra loro. Qual è il più piccolo dei tre numeri dispari?

41 e -45 quello negativo.
Ho utilizzato un ragionamento più semplice del primo che ti hanno proposto con i moduli (che è bello).

Ho calcolato a^2 + (a+2)^2 + (a+4)^2 - 1111*x = 0. Con x che varia sui numeri dispari tra 1 e 9.

[xXStephXx]

E mi rendo conto di aver confuso testualmente i termini resto e modulo era tardi, ora correggo.

[Sk_Anonymous]

Io invece ho ragionato così:

Si sa che la somma dei quadrati di tre numeri dispari consecutivi è pari ad un numero di quattro cifre tutte uguali. Pertanto si ha che [tex]$(2n+1)^{2} + (2n+3)^{2} + (2n+5)^{2}=1000a+100a+10a+a=1111a$[/tex], dove [tex]$a$[/tex] ed [tex]$n$[/tex] sono palesemente interi.
Svolgendo i calcoli si ottiene [tex]$12n^{2} +36n +35=1111a \rightarrow 12n^{2} + 36n +35 -1111a=0$[/tex]; risolvendo quest'ultima secondo la variabile [tex]$n$[/tex] si perviene a [tex]$\Delta=1296-48(35-1111a)=53328a-384$[/tex] da cui [tex]$n_{1,2}=\frac{-36 \pm \sqrt{53328a-384}}{24}$[/tex]; poiché del resto si vuole che sia [tex]$n$[/tex] che [tex]$a$[/tex] siano interi, è necessario che [tex]$53328a-384$[/tex] sia un quadrato perfetto, ed il primo [tex]$a$[/tex] per cui ciò avviene è [tex]$5$[/tex].
In sunto, [tex]$n_{1}=20$[/tex] e [tex]$n_{2}=-23$[/tex], da cui il primo dispari è [tex]$p_{1}=41$[/tex] o [tex]$p_{2}=-45$[/tex].

[xXStephXx]

Probabilmente la risposta ufficialmente predisposta è quella del delta perchè immagino che i giochi della Bocconi a differenza di altre gare non richiedano conoscenze di TdN o sbaglio?

[Sk_Anonymous]

"xXStephXx":Probabilmente la risposta ufficialmente predisposta è quella del delta perchè immagino che i giochi della Bocconi a differenza di altre gare non richiedano conoscenze di TdN o sbaglio?

Non ne ho la certezza assoluta, ma è molto probabile che sia così.

[francesco521]

"john_doe2266":La somma dei quadrati di tre numeri dispari positivi consecutivi è un numero di quattro cifre uguali tra loro. Qual è il più piccolo dei tre numeri dispari?

Il numero dispari più piccolo è 41.
Ho ragionato così:
la somma di tre quadrati che in successione distano 2 è pari a $ 3d^2 + 8 $
dove d è il numero centrale.
Il primo numero dispari di quattro cifre uguali che diminuito di 8 è multiplo di 3 e quadrato perfetto è 5555.
Infatti:
$ (5555 - 8)/3 = 5547/3 = 1849 $
$ SQR(1849) = 43 $
$ 43 - 2 = 41 $
Mi scuso per eventuali errori nella scrittura.
Ciao!