$a^3+2b^3=4c^3$
Calcolare tutte le soluzioni intere di
$a^3+2b^3=4c^3$
$a^3+2b^3=4c^3$
Risposte
"giuseppe87x":
Calcolare tutte le soluzioni intere di
$a^3+2b^3=4c^3$
Ovviamente $(0,0,0)$ è soluzione. Mostriamo che è pure l'unica! Per assurdo, esistano $a,b,c \in \mathbb{Z}$, non tutti contemporaneamente nulli, tali che $a^3 + 2b^3 = 4c^3$. Allora $2 + 3 \cdot v_2(c) = v_2(a^3 + 2b^3)$, dove $v_2(\cdot)$ indica una valutazione
$2$-adica, e perciò $2 \equiv v_2(a^3 + 2b^3)$ mod $3$, purché sia $c \ne 0$. Senonché $v_2(a^3 + 2b^3) \equiv 0$ mod $3$ oppure $v_2(a^3 + 2b^3) \equiv 1$ mod $3$, assurdo! Ne seguita $c = 0$, e.g. $a^3 + 2b^3 = 0$, e perciò $a = b = c = 0$.
Soluzione #2: la discesa infinita di Fermat funziona più che bene, anche se pleonastica.
(0,0,0) e' l'unica soluzione possibile. si dimostra per assurdo.
spero di non aver sbagliato!!!
spero di non aver sbagliato!!!
Soluzione #3: per assurdo, ammettiamo $a^2 + b^2 + c^2 \ne 0$, assumendo wlog $\gcd(a,b,c) = 1$. Allora si vede che $a^3 + 2b^3 = 4c^3$ solo se $a \equiv b \equiv c \equiv 0$ mod $2$, e perciò $\gcd(a,b,c) \ge 2$, assurdo!
vedo che la risposta era corretta... ma che sono arrivato tardi...
A proposito di discesa infinita di Fermat, dimostrare che l'equazione
$x^2+y^2+z^2=2xyz$
ammette come uniche soluzioni $x=y=z=0$
$x^2+y^2+z^2=2xyz$
ammette come uniche soluzioni $x=y=z=0$
"giuseppe87x":
A proposito di discesa infinita di Fermat, dimostrare che l'equazione
$x^2+y^2+z^2=2xyz$
ammette come uniche soluzioni $x=y=z=0$
Ma intendi soltanto soluzioni intere, giusto?
si si...
Beh allora scrivendo la terna generica che soddisfa l'equazione, si ha: $(x,y,xy+-sqrt(x^2(y^2-1)-y^2))$. Per avere soluzioni intere basta osservare che il polinomio sotto radice sia un quadrato perfetto, e cioè deve avere il discriminante null, quindi per $x=0,+-1$. Per $x=0$, si ha $y^2+z^2=0$, cioè $x=y=z=0$
Per $x=+-1$ si ha $(y-z)^2=-1$, che è impossibile. Quindi l'unica terna che soddisfa l'equazione è: $(0,0,0)$.
Ciao!
Per $x=+-1$ si ha $(y-z)^2=-1$, che è impossibile. Quindi l'unica terna che soddisfa l'equazione è: $(0,0,0)$.
Ciao!
"leonardo":
Beh allora scrivendo la terna generica che soddisfa l'equazione, si ha: $(x,y,xy+-sqrt(x^2(y^2-1)-y^2))$. Per avere soluzioni intere basta osservare che il polinomio sotto radice sia un quadrato perfetto, e cioè deve avere il discriminante null, quindi per $x=0,+-1$. Per $x=0$, si ha $y^2+z^2=0$, cioè $x=y=z=0$
Per $x=+-1$ si ha $(y-z)^2=-1$, che è impossibile. Quindi l'unica terna che soddisfa l'equazione è: $(0,0,0)$.
Ciao!
mi sembra che per te questo polinomio deve avere il discriminante nullo per poter essere un quadrato perfetto $x^2(y^2-1)-y^2-z^2=0$. Ma perchè? secondo me si deve usare la cascata di Fermat.
secondo me la soluzione ha a che vedere col fatto che x,y,z devono essere divisibili per 2, e se si seguita si ottiene che le uniche terne che soddisfano l'eq. sono potenze di 2
secondo me la soluzione ha a che vedere col fatto che x,y,z devono essere divisibili per 2, e se si seguita si ottiene che le uniche terne che soddisfano l'eq. sono potenze di 2
Perfetto! Quello che avevo pensato io. Ora il punto è: come dimostrare che x, y, e z sono divisibili per 2?
penso che si può dire per certo che uno tra x,y,z è divisibile per due, perchè se x è pari allora è pari anche $x^2$, non so se mi spiego, quindi se divido per 4 ambo i membri ho che $(x/2)^2+(y/2)^2+(z/2)^2$ è un naturale, da qui per dire che x,y,z sono divisibili per due, basta notare che se non lo fossero quell'espressione non sarebbe un naturale.
E da qui via con la cascata infinita...
si, credo di sì.
"giuseppe87x":
dimostrare che l'equazione $x^2+y^2+z^2=2xyz$ ammette come uniche soluzioni $x=y=z=0$
Sia $(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3$ tale che $0 \ne x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz$. Dev'essere $1 + v_2(x) + v_2(y) + v_2(z) = v_2(x^2 + y^2 + z^2)$. Necessariamente allora $v_2(x) = v_2(y) = v_2(z) =: \alpha$, e perciò $1 + 3\alpha = 2\alpha$, visto che $v_2(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2^\alpha}) = 0$. Assurdo! Da qui le conclusioni...
E che intendi con $v_(2)(x), v_(2)(y)$ etc...?
"giuseppe87x":
E che intendi con $v_(2)(x), v_(2)(y)$ etc...?
...naturalmente una valutazione $2$-adica.
"DavidHilbert":
Necessariamente allora $v_2(x) = v_2(y) = v_2(z) =: \alpha$
e perchè mai?, non mi è chiaro questo passaggio.
"ficus2002":
e perchè mai? non mi è chiaro questo passaggio.
Dire che è banale, anzi bananale!
Wlog, possiamo infatti ammettere $v_2(x) \ge v_2(y) \ge v_2(z)$. Per assurdo, diciamo perciò che $v_2(y) > v_2(z)$. Allora $3 + 3v_2(z) \le 1 + v_2(x) + v_2(y) + v_2(z) = v_2(x^2 + y^2 + z^2) = 2v_2(z)$, assurdo! Di conseguenza $v_2(z) = v_2(y)$. Supponiamo adesso $v_2(x) > v_2(y)$. Allora $2 + 3v_2(z) \le v_2(x^2 + y^2 + z^2) = v_2(y^2 + z^2) = 1 + 2v_2(z)$, ancora assurdo! Da qui l'asserto.
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