$a_1*1!+a_2*2!+a_3*3!+...+a_k*k!$
Dimostrare che ogni numero $n$ tale che $n\inZZ^+$ può essere scritto univocamente nella forma:
$a_1*1!+a_2*2!+a_3*3!+...+a_k*k!$
posta come condizione che $a_k>0$ e $AAiinZZ^+$ si ha che $a_iin[0;i]$
$a_1*1!+a_2*2!+a_3*3!+...+a_k*k!$
posta come condizione che $a_k>0$ e $AAiinZZ^+$ si ha che $a_iin[0;i]$
Risposte
Da quello che ho capito $a_1$ può essere sotlanto 1,ma questo farebbe scaturire solo numeri dispari,essendo quelli successivi per forza pari 
Per induzione. Se si possono scrivere tutti i numeri da $1$ a $n!-1$, facendo variare $a_n$ tra $1$ e $n$ puoi scrivere tutti i numeri da $n!$ a \(n\cdot n! + n!-1=(n+1)!-1\). (ponendo $a_n=1$, si ottengono tutti i numeri da $n!$ a $n!+n!-1$, con $a_n=2$ si ottengono tutti i numeri da $2n!$ a $2n!+n!-1$... ecc.. con $a_n=n$ si ottengono tutti i numeri da \(n\cdot n!\) a \(n\cdot n!+n!-1\) ).
Ok. $1$ lo posso scrivere... quindi...
Ok. $1$ lo posso scrivere... quindi...
"FreddyKruger":
Da quello che ho capito $a_1$ può essere sotlanto 1,ma questo farebbe scaturire solo numeri dispari,essendo quelli successivi per forza pari
Forse non mi sono spiegato bene: con $a_k>0$ intendo che solo l'ultimo deve essere diverso da $0$.
xXStephXx, aspetta che decifro quello che intendi dire
Tanto sarà uguale alla tua
Altrimenti avrei cercato di scriverla in modo più dettagliato.
Altrimenti avrei cercato di scriverla in modo più dettagliato.
Ad essere sinceri nemmeno io ho afferrato la soluzione di Steph , e in ogni caso non ho afferrato nemmeno il significato di questo
"UmbertoM":
posta come condizione che $a_k>0$ e $AAiinZZ^+$ si ha che $a_iin[0;i]$
Non è cosi difficile da capire, in pratica tutti i termini $a_1,a_2,..,a_i,..,a_k$ sono compresi tra $0$ e$i$, ove $i$ è l'indice (quindi $a_1$ è $0$ o $1$, $a_2$ è $0$ o $1$ o $2$ ecc ecc... L'ultimo di tutti questi termini invece è almeno pari a $1$.
Allora ad ogni $n!$ va dato un coefficiente che sia minore o uguale a $n$. E a quello più grande che usi ($a_k$) non puoi dare come coefficiente $0$, altrimenti non sarebbe il più grande.
Provo a scrivere il messaggio di prima in modo più chiaro (in effetti non avevo manco dimostrato che la scrittura è univoca)
Piccolo fatto noto che può essere utile in alcuni punti: \(1\cdot 1! + 2\cdot 2!+3\cdot 3!+...+n\cdot n! = (n+1)!-1\)
(Dimostrabile facilmente per induzione oppure considerando che \((n+1)!-n!=n\cdot n!\) )
Ok, per ora dimostro che tutti i numeri interi positivi possono essere scritti con un'espressione di quel tipo, il fatto che ogni numero può essere scritto in modo univoco viene da sè alla fine.
Dimostro per induzione che se posso rappresentare tutti i numeri da $1$ a $n!-1$ allora posso rappresentare anche tutti i numeri che vanno da $n!$ a $(n+1)!-1$ e questo implica che posso rappresentare tutti i numeri da $1$ a $(n+1)!-1$ e quindi per induzione posso rappresentare tutti i numeri interi positivi.
Passo base:
Posso scrivere tutti i numeri da $1$ a $2!-1$? Sì, sarebbe solo $1$ che lo posso scrivere usando solo $a_1$ con $a_1=1$.
Ipotesi induttiva:
Posso scrivere tutti i numeri da $1$ a $n!-1$
Tesi induttiva:
Posso scrivere tutti i numeri da $n!$ a $(n+1)!-1$ (e quindi tutti i numeri da $1$ a $(n+1)!-1$)
Dimostrazione:
Per la proprietà che ho messo all'inizio, $n!$ è maggiore di $n!-1$ che è proprio il massimo valore che posso rappresentare usando gli $a_i$ con $i
Quindi per ognuno dei valori da $1$ a $n!-1$, ponendo $a_n=1$ sto aggiungendo a tutti $n!$. E quindi posso rappresentare tutti i valori da $1+n!$ a $n!-1+n!$. In più posso rappresentare $n!$ ponendo $a_n=1$ e tutti gli altri 0.
Quindi posso rappresentare tutti i valori da $n!$ a \(2\cdot n!-1\).
Analogamente con $a_n=2$ posso rappresentare tutti i valori che vanno da \(2\cdot n!\) a \(2\cdot n! + n!-1= 3\cdot n!-1\).
Così via...... (qua per farlo rigoroso ci vorrebbe una doppia induzione LOL)
Analogamente con $a_n=n$ posso rappresentare tutti i valori che vanno da \(n\cdot n!\) a \(n\cdot n!+n!-1=(n+1)!-1\).
Quindi unendo tutti questi risultati parziali posso ottenere tutti i valori da $1$ a $(n+1)!-1$.
Ok...
Quindi ho dimostrato che posso ottenere tutti gli interi positivi...
Ora rimane da dimostrare che la scrittura è univoca.
Usando i coefficienti fino ad $a_k$, il valore massimo che si può ottenere è $(k+1)!-1$
Quindi al massimo si possono ottenere $(k+1)!-1$ numeri distinti (tutti quelli da $1$ a $(k+1)!-1$).
E per quello che ho dimostrato prima posso ottenere proprio tutti i numeri da $1$ a $(k+1)!-1$.
Se un numero lo potessi scrivere in più modi, necessariamente lo potrei scrivere in più modi usando solo coefficienti fino ad $a_k$. Di conseguenza il massimo numero di numeri diversi che potrei scrivere diventerebbe $(k+1)!-2$. Ma questo è assurdo perchè altrimenti non potrei scrivere tutti i numeri da $1$ a $(k+1)!-1$.
Provo a scrivere il messaggio di prima in modo più chiaro (in effetti non avevo manco dimostrato che la scrittura è univoca)
Piccolo fatto noto che può essere utile in alcuni punti: \(1\cdot 1! + 2\cdot 2!+3\cdot 3!+...+n\cdot n! = (n+1)!-1\)
(Dimostrabile facilmente per induzione oppure considerando che \((n+1)!-n!=n\cdot n!\) )
Ok, per ora dimostro che tutti i numeri interi positivi possono essere scritti con un'espressione di quel tipo, il fatto che ogni numero può essere scritto in modo univoco viene da sè alla fine.
Dimostro per induzione che se posso rappresentare tutti i numeri da $1$ a $n!-1$ allora posso rappresentare anche tutti i numeri che vanno da $n!$ a $(n+1)!-1$ e questo implica che posso rappresentare tutti i numeri da $1$ a $(n+1)!-1$ e quindi per induzione posso rappresentare tutti i numeri interi positivi.
Passo base:
Posso scrivere tutti i numeri da $1$ a $2!-1$? Sì, sarebbe solo $1$ che lo posso scrivere usando solo $a_1$ con $a_1=1$.
Ipotesi induttiva:
Posso scrivere tutti i numeri da $1$ a $n!-1$
Tesi induttiva:
Posso scrivere tutti i numeri da $n!$ a $(n+1)!-1$ (e quindi tutti i numeri da $1$ a $(n+1)!-1$)
Dimostrazione:
Per la proprietà che ho messo all'inizio, $n!$ è maggiore di $n!-1$ che è proprio il massimo valore che posso rappresentare usando gli $a_i$ con $i
Quindi per ognuno dei valori da $1$ a $n!-1$, ponendo $a_n=1$ sto aggiungendo a tutti $n!$. E quindi posso rappresentare tutti i valori da $1+n!$ a $n!-1+n!$. In più posso rappresentare $n!$ ponendo $a_n=1$ e tutti gli altri 0.
Quindi posso rappresentare tutti i valori da $n!$ a \(2\cdot n!-1\).
Analogamente con $a_n=2$ posso rappresentare tutti i valori che vanno da \(2\cdot n!\) a \(2\cdot n! + n!-1= 3\cdot n!-1\).
Così via...... (qua per farlo rigoroso ci vorrebbe una doppia induzione LOL)
Analogamente con $a_n=n$ posso rappresentare tutti i valori che vanno da \(n\cdot n!\) a \(n\cdot n!+n!-1=(n+1)!-1\).
Quindi unendo tutti questi risultati parziali posso ottenere tutti i valori da $1$ a $(n+1)!-1$.
Ok...
Quindi ho dimostrato che posso ottenere tutti gli interi positivi...
Ora rimane da dimostrare che la scrittura è univoca.
Usando i coefficienti fino ad $a_k$, il valore massimo che si può ottenere è $(k+1)!-1$
Quindi al massimo si possono ottenere $(k+1)!-1$ numeri distinti (tutti quelli da $1$ a $(k+1)!-1$).
E per quello che ho dimostrato prima posso ottenere proprio tutti i numeri da $1$ a $(k+1)!-1$.
Se un numero lo potessi scrivere in più modi, necessariamente lo potrei scrivere in più modi usando solo coefficienti fino ad $a_k$. Di conseguenza il massimo numero di numeri diversi che potrei scrivere diventerebbe $(k+1)!-2$. Ma questo è assurdo perchè altrimenti non potrei scrivere tutti i numeri da $1$ a $(k+1)!-1$.
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