7 punti

[ghira1]

(Di Peter Winkler, lo stesso del problema "4 punti, 2 distanze".)

Tu scegli 7 punti distinti sul piano. Io scelgo tre dei tuoi punti. Tu "vinci" se fra questi 3 ci sono almeno 2 a distanza 1.

Come puoi scegliere i tuoi 7 punti iniziali per vincere sempre? Chiaramente, se _posso_, scelgo 3 punti che non ti fanno vincere.

[gio73]

Mi sto divertendo un sacco con questo tipo di puzzle anche se faccio tanta fatica (forse mi diverto proprio perchè faccio fatica)

qui partirei con un pentagono regate in modo che il mi antagonista non possa prendere 3 punti sui vertici, poi devo posizionare opportunamente gli altri 2. Sono sulla strada giusta?

[ghira1]

"gio73":

qui partirei con un pentagono regolare in modo che il mi antagonista non possa prendere 3 punti sui vertici, poi devo posizionare opportunamente gli altri 2. Sono sulla strada giusta?

Sembra molto promettente.

[gio73]

ci sta lavorando anche mio figlio solo che il suo pentagono nn è regolare ma solo equilatero

[axpgn]

È possibile che su $35$ triangoli me ne rimanga fuori solo uno?

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"gio73":

ci sta lavorando anche mio figlio solo che il suo pentagono nn è regolare ma solo equilatero

Questo sembra anche più promettente.

[orsoulx]

Ho trovato una soluzione; son convinto sia sostanzialmente unica, ma non riesco a dimostrarlo.

Iniziamo col porre $3 $ dei $ 7 $ punti nei vertici di un triangolo equilatero di lato unitario; il nostro avversario potrà scegliere uno solo di questi e sarà costretto a cercare i due rimanenti fra i restanti $ 4 $. Ricerca che porterà ad un'unica possibilità se poniamo questi $ 4 $ nei vertici di un rombo formato da due triangoli equilateri di lato unitario con un lato in comune: l'avversario potrà scegliere solamente gli estremi della diagonale maggiore del rombo.
Saremo certi della vittoria se riusciamo a disporre il primo triangolo in modo che ogni suo vertice disti $ 1 $ da almeno uno degli estremi di questa diagonale. Per ottenere ciò basterà partire dal rombo e far ruotare, attorno ad un estremo della diagonale maggiore, il triangolo formato dai tre vertici distinti da questo, di un angolo tale da spostare l'altro estremo di un'unità.
Il coseno di quest'angolo vale $ 5/6 $.

Ciao

[axpgn]

Bentornato!

Una cosa così?

Ciao, Alex