5 ladri per un bottino

[Brancaleone1]

Aldo, Biagio, Carlo, Dario ed Ettore hanno messo a colpo una rapina portandosi nel covo cento gemme, tutte uguali e favolose, e devono decidere come spartirle. Dato che non trovano un accordo, si rivolgono al loro "maestro" che sfodera una vecchia regola d'uso tra i ladri: questa stabilisce che il capo, nel nostro caso Aldo, deve avanzare una proposta di spartizione, dopodiché tutti quanti devono votare se accettarla o respingerla (non è possibile astenersi). Se la maggioranza dei voti è a favore, o se c'è parità tra voti pro e contro, la spartizione viene fatta così come è stata formulata. Se invece la maggioranza dei votanti respinge la proposta, il capo viene freddato sul posto e il nuovo capo diventa quello prossimo al malcapitato per ordine alfabetico (prima Biagio, poi Carlo, ecc...).

Il nuovo capo avanza la sua proposta che sarà nuovamente messa ai voti, con le stesse conseguenze già illustrate. Si continua così finché o una proposta viene accettata, oppure rimane uno solo in vita (Ettore). Non c'è pericolo che qualcuno possa fuggire, ribellarsi o uccidere gli altri, perché tutti sono in una stanza chiusa insieme al maestro che è l'unico armato, ha una mira infallibile ed è assolutamente ligio alle regole, anche se queste prevedono di sparare ai propri discepoli, e anche se non prende parte alla spartizione.

Dato non trascurabile è che ognuno di loro è bravissimo in logica deduttiva (e sa che anche gli altri lo sono), e che quindi tutti hanno interesse nel vedersi assegnata la maggior parte possibile del bottino, ma ancor di più tengono sicuramente alla pelle. In più i ladri non si fidano tra loro e perciò non possono collaborare.

Quale proposta può avanzare Aldo per rimanere vivo ed accaparrarsi la maggior parte del bottino? Perché?

[axpgn]

@Brancaleone
Mi astengo perché conosco la risposta ... o quantomeno conosco una (non breve) dissertazione sul perché quella sia la soluzione più logica ... anche se rimango sempre un po' dubbioso su questo tipo di problemi e soluzioni (un po' complicati per me)

Cordialmente, Alex

[Brancaleone1]

@axpgn
In effetti la soluzione (se è la stessa che ho io) non è brevissima

[axpgn]

@Brancaleone

Non credo perché ...

La mia parla di pirati ed è in inglese e NON è in un libro di quesiti matematici o simili ... quindi presumo che partiamo da "basi" diverse; ciò detto è probabile invece che la "logica" della soluzione sia la stessa
Comunque, aspetto interventi e se non ci saranno poi magari ci risentiamo ...

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

Ad intuito farei:

40 Aldo
30 Carlo
30 Ettore

Ettore può sperare nella ricompensa di Aldo, Biagio, Carlo
Dario li da 0
Carlo li da 1
Biagio li da 2

Ad Ettore conviene avere la stessa ricompensa di Carlo e vota si.

A Dario va sempre magra.

Carlo se non sceglie può sperare solo nella ricompensa di Aldo, se sceglie Biagio non riceve nulla, se sceglie Biagio, Biagio vince, Carlo accetta 30 da Aldo.

3 voti a 2.

se funziona provo a vedere come formalizzare la cosa, perché non ho idea al momento di come si possa formalizzare, ne di come si possa ripartire in modo ottimale le gemme .

[Brancaleone1]

"Settevoltesette":

40 Aldo
30 Carlo
30 Ettore

Ettore può sperare nella ricompensa di Aldo, Biagio, Carlo
Dario li da 0
Carlo li da 1
Biagio li da 2

Ad Ettore conviene avere la stessa ricompensa di Carlo e vota si.

A Dario va sempre magra.

Carlo se non sceglie può sperare solo nella ricompensa di Aldo, se sceglie Biagio non riceve nulla, se sceglie Biagio, Biagio vince, Carlo accetta 30 da Aldo.

3 voti a 2.

Purtroppo no, non è questa la soluzione: è vero che Ettore pensa che Dario gli darebbe 0, ma per evitare ciò cosa gli conviene fare prima che Dario diventi il capo? E in quel caso cosa pensa Dario?

Inoltre, perché mai Carlo ed Ettore dovrebbero accontentarsi di 30 e lasciarne 40 ad Aldo? Se Aldo fosse al loro posto, non voterebbe contro?

[Settevoltesette]

Considero una cinquina formata da 0 ed 1 in cui assegno 0 se il membro di posto n non da niente 1 se potrebbe dare qualcosa.

Aldo (1,0,0,0,0)
Biagio (1,1,0,0,0) modifica(0,1,0,0,0)
Carlo (1,0,1,0,0)
Dario (1,1,0,1,0) modifica (0,1,0,1,0)
Ettore(1,1,1,0,0) modifica (1,0,1,0,0)

Carlo appoggia Aldo perché può ricevere solo da lui o da se stesso.

A Biagio non conviene pagare Carlo e Biagio ha il voto sicuro di Dario, vincerebbe 2-2.

Ad Aldo non conviene pagare Biagio, perché può spartire con Dario, non riceverebbe voti.

Quindi senza colpo ferire Aldo ha 2 voti, il suo e quello di Carlo, a cui da una gemma per cementare il voto.

Manca un voto, Dario é amico di Biagio e lo tagliamo fuori.

Il rimanente é Ettore, che riceve ance lui una gemma per compassione.

La ripartizione finale é 98/0/1/0/1

[Brancaleone1]

"Settevoltesette":Considero una cinquina formata da 0 ed 1 in cui assegno 0 se il membro di posto n non da niente 1 se potrebbe dare qualcosa.

Aldo (1,0,0,0,0)
Biagio (1,1,0,0,0) modifica(0,1,0,0,0)
Carlo (1,0,1,0,0)
Dario (1,1,0,1,0) modifica (0,1,0,1,0)
Ettore(1,1,1,0,0) modifica (1,0,1,0,0)

Carlo appoggia Aldo perché può ricevere solo da lui o da se stesso.

A Biagio non conviene pagare Carlo e Biagio ha il voto sicuro di Dario, vincerebbe 2-2.

Ad Aldo non conviene pagare Biagio, perché può spartire con Dario, non riceverebbe voti.

Quindi senza colpo ferire Aldo ha 2 voti, il suo e quello di Carlo, a cui da una gemma per cementare il voto.

Manca un voto, Dario é amico di Biagio e lo tagliamo fuori.

Il rimanente é Ettore, che riceve ance lui una gemma per compassione.

La ripartizione finale é 98/0/1/0/1

Il risultato è giusto: Aldo si tiene 98 gemme e ne dà una a Carlo e una ad Ettore
Il ragionamento che ho io è questo.

Dato che "tutti ragionano con la testa di tutti", e che nel caso in cui non ci sia mai accordo E si ritroverebbe da solo contro D, è logico iniziare dal capire cosa succede in questa situazione per poi andare a ritroso.

Caso 1 - Rimangono D ed E
D terrebbe tutto per sé mantenendo un pareggio contro il voto di E. Quindi E vuole evitare di rimanere solo contro D, e per farlo deve aiutare C a rimanere in vita. Cosa succede quando C è il capo?

Caso 2 - Rimangono C, D ed E
C sa che E vuole evitare di rimanere solo con D, perché altrimenti E non otterrebbe niente, però a C non conviene tenere tutto per sé, altrimenti per E sarebbe la stessa cosa e voterebbe contro per ripicca, quindi C garantisce ad E 1 gemma. D voterebbe contro questa spartizione, dato che così perderebbe tutto, ma il suo voto da solo non basterebbe, quindi capisce che deve evitare che si rimanga in 3, cioè vuole evitare che C diventi capo. Come?

Caso 3 - Rimangono B, C, D, ed E
B sa che D vuole evitare che C diventi capo, e sa anche che gli basta un pareggio, quindi può garantire 1 sola gemma a D (che anche lui tra 1 e 0 preferisce 1) e non dare niente a C ed E. Quest'ultimi capiscono che per evitare di non ottenere nulla devono fare in modo che A rimanga in vita. Quindi cosa propone A?

Caso 4 - Tutti in vita
A ha fatto tutti i ragionamenti a ritroso e ha capito che C ed E non vogliono B come capo, quindi garantisce loro 1 gemma a testa senza dare nulla a B e D che voteranno contro, ma perderanno 3 a 2. Quindi la spartizione è A 98, C ed E 1, B e D 0.

@axpgn: risulta così anche a te?

[axpgn]

Sì, sostanzialmente sì solo che la mia è più prolissa; è una soluzione commentata, ancor più della tua
Casomai interessasse a qualcuno (e se trovo il tempo) la posso pubblicare ...

Cordialmente, Alex

[Brancaleone1]

Beh certamente sì, se hai voglia e tempo di condividerla la leggerei molto volentieri

[Drazen77]

Il ragionamento fila, però, nella realtà, se io fossi il primo a parlare e decidessi di tenere per me i 98/100 della refurtiva, dubito che gli altri accetterebbero...
Penso che un gioco come questo non abbia una vera e propria "soluzione".

[marcorossi94]

Se rimangono solo D,E D offre 0,100 nella speranza che E non lo uccida. A prescindere dalla bontà di E, comunque ad E conviene finire in due, perché prenderebbe tutto il bottino.
D farebbe di tutto per non finire in questa situazione, ecco che accetterebbe ogni proposta di C.
C, sapendo che un voto gli basta, propone 100,0,0 e sa che D accetta.
Supponiamo che ora sia B a proporre. C vota contro (perché punta al centello), D si accontenta di una moneta (perché C non gliene darebbe), stessa cosa E. Ecco che B offre 98,0,1,1 e vince.
Arriviamo allora all'offerta di A. Per prendere il voto di B, dovrebbe dargli 99. Penso che per convincere D ed È, basti offrire 2 a testa (B gliene darebbe 1). Due voti gli bastano.
Quindi in conclusione credo che Aldo proponga
A 96
B 0
C 0
D 2
È 2
Aldo vince le elezioni con i voti di D , E

Ho detto giusto?

[Brancaleone1]

"marcorossi94":[spoiler]Se rimangono solo D,E D offre 0,100 nella speranza che E non lo uccida. A prescindere dalla bontà di E, comunque ad E conviene finire in due, perché prenderebbe tutto il bottino.

[...]

No, attento: in caso di parità la proposta passa, quindi D non rischia nulla scontrandosi con solo E

[axpgn]

Come detto riporto la versione che avevo letto però non prendetevela con me, me l'hanno chiesto ...

Prima di tutto il testo della mia versione del problema.

Su di un'isola, cinque pirati hanno cento monete d'ore da dividere tra loro.
Il bottino viene spartito nel seguente modo: il pirata più anziano fa una proposta e tutti votano; se almeno la metà è favorevole, la divisione viene effettuata in tal modo, altrimenti colui che ha fatto la proposta viene ucciso e si riparte.
Il più anziano tra i sopravvissuti fa la sua proposta di divisione e si vota, con le stesse regole di prima: o si divide come proposto o si uccide il proponente.
Il processo continua finchè una proposta non sarà accettata.
Supponiamo che tu sia il pirata più anziano, quale suddivisione proporresti?
(I pirati sono tutti estremamente logici e avidi, e tutti vogliono vivere).

Questa è la soluzione commentata.

Per quanto ne sappiamo, tutti i pirati hanno gli setssi "diritti" sulle monete. L'opzione più semplice è dividere in ciqnue parti uguali, venti monete per ciascuno.
Cosa c'è di sbagliato in questo?
La risposta è che non c'è niente di sbagliato in quella scelta, a parte il fatto che potresti essere ammazzato .
Proponi una divisione alla pari e gli altri quattro pirati saranno inclini a pensare che venti monete sonpo un buon affare ma venticinque sono un affare migliore e quindi votare in blocco contro di te e ucciderti.
Poi ripartirebbero ancora con cento monete da dividere ma con solo quattro pirati.
Potresti argomentare "till you're blue in face" (l'ho lasciata così perchè mi piaceva ) che una divisione alla pari è la più equa concepibile; il fatto è che il quesito nulla dice a riguardo della "fairness" dei pirati (e pare che non sia tra le loro caratteristiche principali ).
Non solo la tua proposta per una divisione equa sarà probabilmente rigettata ma lo sarranno pur quelle future: non è meglio dividere in tre piuttosto che in quattro? In due piuttosto che in tre? Dove finisce la "discesa"?
Questo problema assomiglia un po' agli show tv tipo GF o "L'isola", dove i concorrenti devono votare per eliminare gli altri al fine di vincere il premio. Tali concorrenti generalmente hanno successo formando delle alleanze di voto dal "respiro corto".
Un simile approccio si può usare qui, però dato che stai mettendo a rischio la tua vita invece di un quarto d'ora di celebrità, vorrai essere più che certo che la tua proposta sia accettata.

Questo quesito è un altro esercizio del tipo "ragionamento ricorsivo"; la soluzione dipende dal realizzare che la situazione con $n$ pirati può essere analizzata nei termini della situazione con $n-1$ pirati, e così via, fino a giungere ad un "caso base" in cui la situazione è indiscutibilmente chiara.

Il caso base è quello con un solo pirata il quale proporrà di tenere tutto il mallopo per sè. Mozione accolta!
E se fossero in due? Il pirata anziano deve proporre la divisione da fare ma gli basta la metà dei voti cioè uno, il suo; perciò non si dovrà curare di ciò che pensa l'altro e si terrà tutto.
Sembrererebbe che il più anziano otterrà sempre tutto. Non proprio.
Supponiamo che siano in tre e numeriamoli dal più giovane al più vecchio $#1, #2, #3$.
Tocca al $#3$ proporre e se la proposta fosse "tutto per me e niente per voi" il $#2$ voterebbe contro anche perchè sa che avrebbe tutto nel caso con due soli pirati. Il più giovane quindi diventerebbe l'ago della bilancia ma non otterrebbe niente in questo caso nè in quello con due soli pirati, perciò non ha preferenze.
Perciò, essendo il $#3$ "furbo" come da ipotesi, cercherà il supporto del $#1$; essendo però anche avido gli prometterà il minimo possibile: una moneta. Anche il $#1$ è furbo, come da ipotesi, quindi realizzerà che anche una "miseria" è meglio di niente quindi votera per il $#3$.
Veniamo ora al caso di quattro pirati; il più anziano ha bisogno di un solo voto per "vincere", qual è il meno caro?
Il $#2$ nel caso di tre pirati è tagliato fuori perciò è sufficiente che il $#4$ gli prometta una moneta per assicurarsi il suo voto (e il resto a lui).
Ora si incomincia a vedere uno schema: in ciascun caso il pirata più anziano deve "comprare" solo i voti necessari ed al prezzo minimo possibile.
Applichiamo il ragionamento al caso con cinque pirati (quello in questione): sei il pirata $#5$, hai bisogno di due voti, di conseguenza "getterai l'osso" ai due messi peggio nel caso con quattro pirati ovvero il $#1$ e il $#3$ (che non riceverebbero nulla in tal caso).
Perciò una moneta al $#1$ e al $#3$, niente al $#2$ e al $#4$ e $98$ a te .

Morale: questa è una di quelle soluzioni mancanti di "senso comune" che convincono la gente "normale" dell'assurdità dei quesiti logici
Quale pirata (o spacciatore o criminale mafioso o semplicemente grande egoista) starebbe lì tranquillo ad accettare uno schema in cui tu prendi $98$ e loro niente o poco più? Gli altri quattro prima ti sparerebbero e POI DOPO farebbero le loro deduzioni

Cordialmente, Alex

[marcorossi94]

@Branca

Non mi era chiaro che votasse anche chi propone
Allora cambiano le cose

[Brancaleone1]

@axpgn: grazie per la tua versione

[axpgn]

Di nulla ... l'hai trovata interessante?

[Brancaleone1]

Sì, è come hai detto tu: la logica è quella, ma spiegata così rende decisamente meglio

[Bokonon]

Conoscevo il giochino ma nella realtà Ettore decide il gioco. Se Ettore ritiene che averne 0 fino a una soglia minima di x gemme non gli cambi la vita (principio di utilità), allora sta agli altri capire quanto è necessario pagare E.

[Brancaleone1]

"Bokonon":Conoscevo il giochino ma nella realtà Ettore decide il gioco. Se Ettore ritiene che averne 0 fino a una soglia minima di x gemme non gli cambi la vita (principio di utilità), allora sta agli altri capire quanto è necessario pagare E.

Nella realtà Aldo, Biagio e Carlo muoiono perché linciati dagli altri, e infine il più forte tra Dario ed Ettore strangola l'avversario e si intasca l'intero bottino!

[Bokonon]

@Brancaleone
LOL
Sarebbe più umano che razionale...e purtroppo siamo razionali quanto tu descrivi