$30$ squadre

[axpgn]

$30$ squadre partecipano ad un torneo di calcio dove ciascuna squadra incontra tutte le altre una volta sola.

Provare che in qualsiasi momento del torneo ci sono almeno due squadre che hanno giocato lo stesso numero di partite.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Ragionando per assurdo, per NON avere almeno due squadre con lo stesso numero di partite, ogni squadra deve aver giocato un numero di partite diverso.
Al massimo ognuna delle $n$ squadre puo' aver giocato $n-1$ partite, quindi l'unica ripartizione delle giocate e' da $0$ a $n-1$.
Questo significa che la squadra che ha giocato $n-1$ partite ha giocato contro tutte le altre, anche quella con $0$ partite giocate, il che e' assurdo. Quindi almeno due squadre hanno lo stesso numero di partite giocate.
O no ?

[axpgn]

[mgrau]

@Quinzio: ma, se non ho capito male, la tua prova riguarda il torneo concluso. Ma non doveva essere in qualunque momento?

[Quinzio]

@mgrau

"mgrau":@Quinzio: ma, se non ho capito male, la tua prova riguarda il torneo concluso. Ma non doveva essere in qualunque momento?

Giustissima osservazione.
In questo caso vale il principio del pigeon hole.
Dovendo attribuire $n-1$ numeri a $n$ squadre, almeno 2 squadre avranno lo stesso numero.
Come diceva il mio capo, volevo vedere se eravate attenti.

[mgrau]

@Quinzio

Dovendo attribuire $n-1$ numeri a $n$ squadre, almeno 2 squadre avranno lo stesso numero.

Giusto. Incredibile come la soluzione pare ovvia dopo che la l'hai sentita

[axpgn]