3 volte 3 cerchi

[axpgn]

Nell'immagine i tre cerchi grandi hanno raggio unitario e le figure inscritte sono un diametro, un triangolo equilatero e un quadrato.

Determinare il raggio dei cerchi più piccoli.


Cordialmente, Alex

[apatriarca]

Proviamoci...

Sia \(H\) l'altezza in cui il segmento taglia il cerchio. Questa sarà uguale rispettivamente a \(0,\) \(1/2\) e \(\sqrt{2}/2\). Un cerchio di raggio \(r\) che tocca tale circonferenza internamente avrà il centro su una circonferenza di raggio \(1 - r\) e centro nell'origine. Una circonferenza dello stesso raggio \(r\) che tocca il segmento orizzontale avrà come ordinata \(H + r\). Mettendo insieme le due equazioni trovo:
\[
\begin{gather*}
x^2 + (H + r)^2 = (1 - r)^2 \\
x^2 + H^2 + 2Hr + r^2 = 1 - 2r + r^2 \\
x^2 = 1 - H^2 - 2r + 2Hr.
\end{gather*}
\]
Questa è l'equazione di una circonferenza di raggio massimo data l'ascissa in cui tocca il segmento o, viceversa, l'ascissa dato il raggio. Per verificarla considero per esempio i casi seguenti.

1. Se impongo \(r = (1 - H)/2\) trovo \(x = 0.\)
2. Se impongo \(x = 0\) trovo \((1 - H)^2.\)
3. Se impongo \(r = 0\) trovo \(x^2 = 1 - H^2\) che è l'ascissa del punto sulla circonferenza per l'ordinata \(H\).
4. Se impongo \(x^2 = 1 - H^2\) trovo che devo avere \(r = 0\) in quanto \(H \neq -1\).

A questo punto osservo che la circonferenza nera ha il centro in \(\bigl(0, (1 + H)/2\bigr)\) e raggio \((1 - H)/2\). La seconda sfera avrà centro \((x, y)\) che soddisfa l'equazione sopra e distanza dal primo centro uguale a \((1 - H)/2 + r\). Scrivendo questa seconda condizione ottengo:
\[ x^2 + \left(y - \frac{1 + H}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 - H}{2} + r\right)^2, \]
e sostituendo l'equazione precedente si ottiene:
\[
\begin{gather*}
1 - H^2 - 2r - 2Hr + \left(H + r - \frac{1 + H}{2}\right)^2 = \left(\frac{1 - H}{2} + r\right)^2 \\
1 - H^2 - 2r - 2Hr + \frac{1}{4} - \frac{H}{2} + \frac{H^2}{4} - r + Hr + r^2 = \frac{1}{4} - \frac{H}{2} + \frac{H^2}{4} + r - Hr + r^2 \\
1 - H^2 - 4r = 0 \\
r = \frac{1 - H^2}{4}
\end{gather*}
\]

Le risposte nei tre casi sono quindi: \(1/4\), \(3/16\) e \(1/8.\) Non ho provato a disegnarli per assicurarmi di aver fatto corretto.

[apatriarca]

Considerando che \(H\) è uguale al raggio del cerchio inscritto nel poligono regolare, possiamo generalizzare ad un poligono regolare con \(n\) vertici/lati scrivendo \(H = \cos(\pi/n).\) A questo punto abbiamo
\[ r = \frac{1 - \cos^2(\pi/n)}{4} = \frac{\sin^2(\pi/n)}{4}. \]

[axpgn]

Perfetto!

Hai anche già generalizzato


Alternativa:

Detti $a$ e $b$ i raggi dei cerchi con $a $PQ^2=PR^2+QR^2$
$(a+b)^2=(b-a)^2+OQ^2-OR^2$
$4ab=(1-a)^2-(1-b-(b-a))^2$
$4ab=1-2a+a^2-(1-2b+a)^2$
$4ab=-4a+4b+4ab-4b^2$
$a=b(1-b)$