$28$

[axpgn]

Qual è il più piccolo numero naturale che ha esattamente $28$ divisori?



Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Direi ( 2^6cdot 3 cdot 5 = 960 )

[Brancaleone1]

Sia $n=X^aY^bZ^c$ il numero richiesto, dove $(a+1)(b+1)(c+1)=28=7*2*2$, e quindi

$a=6$, $b=1$, $c=1$

Il più piccolo numero naturale con $28$ divisori dovrà avere i più piccoli fattori primi (diversi da $1$) elevati con gli esponenti $a$, $b$ e $c$ disposti in ordine decrescente, ossia:

$n=2^6 3^1 5^1 = 960$

[axpgn]

Ok, va bene, però ...

Perché solo tre fattori? Perché non meno? Perché non di più?

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Se ( n = p_1^{alpha_1} cdot ldots cdot p_k^{alpha_k} ) allora
[ au(n) = (alpha_1+1) cdot ldots cdot (alpha_k +1 ) ]
Noi vogliamo trovare (n ) minimale sapendo che ( au(n) = 28 = 2^2 cdot 7 ).
Pertanto ( 28 = (27+1) ), ( 28=(13+1)(1+1) ), (28=(6+1)(3+1) ) oppure ( 28=(6+1)(1+1)(1+1) ) da qui risulta chiaro che i minimali in questi quattro casi sono rispettivamente ( 2^{27}), ( 2^{13} cdot 3 ), ( 2^{6} cdot 3^3 ) e ( 2^6 cdot 3 cdot 5 ), tra questi tre prendiamo il minimale che è (2^6 cdot 3 cdot 5 ).

[axpgn]

Perfetto!

Però dai per scontato che tutti sappiano il significato di $tau(n)$
Io per esempio faccio sempre confusione tra $tau(n), sigma(n), phi(n)$

Sono un po' perfido, lo so ...

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Anche io mi confondo spesso, anche perché a volte dipende dagli autori, ma solitamente il significato si deduce dal contesto, in questo caso era chiaro quale fosse il significato.