26: unico nel suo genere?
Leggendo l'"Apologia di un matematico" di Hardy (che, en passant, consiglio a tutti i matematici ed aspiranti tali di leggere) ho scovato questo bel problema, ideato da Fermat.
Il teorema afferma che $26$ è l'unico numero che si trova esattamente in mezzo ad un quadrato ($25$) ed un cubo ($27$).
Ho impostato il problema in questo modo: visto che $26$ è unico, significa che $EE!(n,m) in NN^2 | n^3-m^2=2$, ossia che l'equazione $n^3-m^2=2$ è soddisfatta da una ed una sola coppia di naturali...
è banale dimostrare che tale equazione non ha soluzioni se $n in {2k, k in NN}$. In tal caso, infatti anche $m in {2k}$, visto che $m^2=n^3-2$: sotto questa ipotesi, è sufficiente sostituire $n=2p$ e $m=2q$, da cui si ottiene $8p^3-4q^2=2 rarr 4p^3-2q^2=1$ il che è palesemente un assurdo logico (la differenza di due pari non potrà mai essere dispari)...
Le cose si complicano un bel po' invece nel caso $n,m in {2k+1, k in NN}$ e non so più andare avanti... Qualcuno ha dei suggerimenti?
Il teorema afferma che $26$ è l'unico numero che si trova esattamente in mezzo ad un quadrato ($25$) ed un cubo ($27$).
Ho impostato il problema in questo modo: visto che $26$ è unico, significa che $EE!(n,m) in NN^2 | n^3-m^2=2$, ossia che l'equazione $n^3-m^2=2$ è soddisfatta da una ed una sola coppia di naturali...
è banale dimostrare che tale equazione non ha soluzioni se $n in {2k, k in NN}$. In tal caso, infatti anche $m in {2k}$, visto che $m^2=n^3-2$: sotto questa ipotesi, è sufficiente sostituire $n=2p$ e $m=2q$, da cui si ottiene $8p^3-4q^2=2 rarr 4p^3-2q^2=1$ il che è palesemente un assurdo logico (la differenza di due pari non potrà mai essere dispari)...
Le cose si complicano un bel po' invece nel caso $n,m in {2k+1, k in NN}$ e non so più andare avanti... Qualcuno ha dei suggerimenti?
Risposte
io ho provato a riprendere la tua equazione $n^3-m^2=2$ espressa con altri parametri, considerando m, n dispari.
svolgendo un po' di calcoli e facendo nuove discussioni sui parametri, sono arrivata alla forma:
$h(h+1)=128l^3+144l^2+54l+6$ che dovrebbe avere come unica soluzione ammissibile, per la tesi del problema, ${h=2 ^^ l=0}$
tale soluzione, in realtà, verifica l'equazione, ma io mi sono fermata qui: si dovrebbe dimostrare che è l'unica soluzione a valori in $NN$.
una precisazione: "trovarsi in mezzo ad un quadrato ed un cubo" significa solamente quello scritto nell'equazione, oppure potrebbe significare anche che il cubo precede il quadrato? ciao.
svolgendo un po' di calcoli e facendo nuove discussioni sui parametri, sono arrivata alla forma:
$h(h+1)=128l^3+144l^2+54l+6$ che dovrebbe avere come unica soluzione ammissibile, per la tesi del problema, ${h=2 ^^ l=0}$
tale soluzione, in realtà, verifica l'equazione, ma io mi sono fermata qui: si dovrebbe dimostrare che è l'unica soluzione a valori in $NN$.
una precisazione: "trovarsi in mezzo ad un quadrato ed un cubo" significa solamente quello scritto nell'equazione, oppure potrebbe significare anche che il cubo precede il quadrato? ciao.
Ciao. Anch'io arrivavo a questo punto, ma non ero più capace di proseguire. Sinceramente non so se il quadrato debba necessariamente precedere il cubo. Sembra però che sia così, visto che prende spunto dal numero $26$; tuttavia potrebbe essere interessante vedere se $m^2-n^3=2$ ammette soluzioni e, in caso positivo, quante e quali esse siano.
"adaBTTLS":
io ho provato a riprendere la tua equazione $n^3-m^2=2$ espressa con altri parametri, considerando m, n dispari.
svolgendo un po' di calcoli e facendo nuove discussioni sui parametri, sono arrivata alla forma:
$h(h+1)=128l^3+144l^2+54l+6$ che dovrebbe avere come unica soluzione ammissibile, per la tesi del problema, ${h=2 ^^ l=0}$
tale soluzione, in realtà, verifica l'equazione, ma io mi sono fermata qui: si dovrebbe dimostrare che è l'unica soluzione a valori in $NN$.
una precisazione: "trovarsi in mezzo ad un quadrato ed un cubo" significa solamente quello scritto nell'equazione, oppure potrebbe significare anche che il cubo precede il quadrato? ciao.
potresti postare il tuo procedimento,per favore? Grazie mille
quando ritrovo i fogli su cui ho scritto i passaggi te li posto, ma ti posso dire intanto che che sono partita da
2h+1 e 2k+1 al posto di m e n
ho svolto le potenze e ho discusso sulla parità di h e k
ho ripetuto il procedimento con altri due parametri.... tutti calcoli molto noiosi, puoi arrivarci da solo....
intanto potrebbe rispondere anche mauer, visto che anche lui era arrivato a questo punto...
piuttosto, kekko, saresti in grado di andare avanti, ottenendo qualcosa di utile?
io dopo quel messaggio qualche calcolo in più l'ho fatto, ma per "non ottenere risultati per i primi valori di l"...
a presto. ciao.
2h+1 e 2k+1 al posto di m e n
ho svolto le potenze e ho discusso sulla parità di h e k
ho ripetuto il procedimento con altri due parametri.... tutti calcoli molto noiosi, puoi arrivarci da solo....
intanto potrebbe rispondere anche mauer, visto che anche lui era arrivato a questo punto...
piuttosto, kekko, saresti in grado di andare avanti, ottenendo qualcosa di utile?
io dopo quel messaggio qualche calcolo in più l'ho fatto, ma per "non ottenere risultati per i primi valori di l"...
a presto. ciao.
Sì i conti sono davvero tediosi. Comunque ti posto i passaggi principali.
$n^3-m^2=2$
sostituisco $n=2p+1$, $m=2h+1$, da cui ottengo dopo le opportune semplificazioni
$2(2p^3+3p^2+p)+p=2(h^2+h)+1$
Deduco allora che $p \in {2k+1}, k \in NN$, quindi sostituisco $p=2k+1$ e ottengo
$2(8k^3+18k^2+13k+3)+k=h(h+1)$
Osservando che $AA h \in NN h(h+1) \in {2q}, q \in NN$, allora deve essere $k \in {2l}, l \in NN$, quindi sostituisco ancora una volta e arrivo a
$128l^3+144l^2+54l+6=h(h+1)$.
$n^3-m^2=2$
sostituisco $n=2p+1$, $m=2h+1$, da cui ottengo dopo le opportune semplificazioni
$2(2p^3+3p^2+p)+p=2(h^2+h)+1$
Deduco allora che $p \in {2k+1}, k \in NN$, quindi sostituisco $p=2k+1$ e ottengo
$2(8k^3+18k^2+13k+3)+k=h(h+1)$
Osservando che $AA h \in NN h(h+1) \in {2q}, q \in NN$, allora deve essere $k \in {2l}, l \in NN$, quindi sostituisco ancora una volta e arrivo a
$128l^3+144l^2+54l+6=h(h+1)$.
... c'è poco da dire. ora non mi metto a riscrivere i passaggi, visto che dovrebbe essere chiaro da quanto scritto da maurer.
ho solo provato a vedere se si prospettavano altre soluzioni.... ovviamente non ne ho trovate (i calcoli scritti sono fino ad l=11).
ho anche impostato un altro modo per continuare. chi ha a che fare con la matematica discreta in maniera continuativa potrebbe cimentarsi.
se si passa il 6 al secondo membro e si scompone, si ottiene:
$(h-2)*(h+3)=2l*(64l^2+72l+27)$.
ho fatto qualche calcolo senza senso (o almeno non ne ricordo il motivo).
poi ho pensato che si potesse andare avanti procedendo per ipotesi sulla congruenza modulo 3 di h ed l, però non ho fatto più calcoli.
che ne pensate? ciao.
ho solo provato a vedere se si prospettavano altre soluzioni.... ovviamente non ne ho trovate (i calcoli scritti sono fino ad l=11).
ho anche impostato un altro modo per continuare. chi ha a che fare con la matematica discreta in maniera continuativa potrebbe cimentarsi.
se si passa il 6 al secondo membro e si scompone, si ottiene:
$(h-2)*(h+3)=2l*(64l^2+72l+27)$.
ho fatto qualche calcolo senza senso (o almeno non ne ricordo il motivo).
poi ho pensato che si potesse andare avanti procedendo per ipotesi sulla congruenza modulo 3 di h ed l, però non ho fatto più calcoli.
che ne pensate? ciao.
Sinceramente non ho capito come si potrebbe andare avanti grazie alla congruenza modulo 3, però mi è venuta un'idea costruttiva!
Da quello che hai scritto segue che $[(h-2)(h+3)]mod l = 0$, ossia che $(h-2)mod l = 0$ o che $(h+3)mod l=0$, da cui segue che
$h-2=al$ o $h+3=al$, ossia $h=al+2$ o $h=al-3$. A questo punto si può sostituire nell'equazione di partenza ed ottenere così un'equazione
di terzo grado parametrica che si può sicuramente studiare in modo più agevole...
Ho fatto i conti sostituendo $h=al+2$: il termine noto scompare e quindi si ricava la soluzione $l=0$... A questo punto si tratta di mostrare che
$k^4-288k^2-512k-6912$ (se ho fatto bene i conti) non è mai un quadrato perfetto!
Da quello che hai scritto segue che $[(h-2)(h+3)]mod l = 0$, ossia che $(h-2)mod l = 0$ o che $(h+3)mod l=0$, da cui segue che
$h-2=al$ o $h+3=al$, ossia $h=al+2$ o $h=al-3$. A questo punto si può sostituire nell'equazione di partenza ed ottenere così un'equazione
di terzo grado parametrica che si può sicuramente studiare in modo più agevole...
Ho fatto i conti sostituendo $h=al+2$: il termine noto scompare e quindi si ricava la soluzione $l=0$... A questo punto si tratta di mostrare che
$k^4-288k^2-512k-6912$ (se ho fatto bene i conti) non è mai un quadrato perfetto!
scusami ma non sono molto abile con le congruenze.. come hai fatto a trovare che $l=0$? sostituendo $h=al+2$ eppoi?? perchè se trovi l,poi è una cavolata..
Ti posto i miei passaggi... Neanch'io sono molto abile con le congruenze, quello che so è molto "amatoriale"...
Comunque, da quello che ha scritto adaBTTLS si ricava che $((h-2)(h+3))/l=2(64l^2+72l+27)$ e, visto che $2(64l^2+72l+27)$
deve essere intero, ne segue che $(h-2)(h+3)$ debba essere divisibile per $l$, ossia che $[(h-2)(h+3)]modl=0$. Ora, visto che
l'operatore mod gode della proprietà distributiva rispetto al prodotto, per la legge di annullamento del prodotto dovrà essere $(h-2)modl=0$ oppure
$(h+3)modl=0$ (il che è logico, visto che perché il prodotto $(h-2)(h+3)$ sia divisibile per $l$ è sufficiente che sia divisibile per $l$ uno dei due fattori...)
A questo punto, sviluppando la prima delle relazioni trovate, $(h-2)modl=0$ arrivo a $h-2=al$, dove $a$ è un parametro intero relativo.
Se vado a sostituire nell'equazione di adaBTTLS trovo che $(al+2-2)(al+2+3)=l(128l^2+144l+54)$, da cui ottengo
$l[128l^2+(144-a^2)l+54-5a]=0$.
Di qui ho dedotto che $l=0$ è una soluzione... Bisogna far vedere che però non ce ne sono altre... Non mi sembra che siamo troppo distanti, anche
se c'è da lavorarci sopra ancora un po'... Ti è tutto chiaro? cosa ne pensi?
Comunque, da quello che ha scritto adaBTTLS si ricava che $((h-2)(h+3))/l=2(64l^2+72l+27)$ e, visto che $2(64l^2+72l+27)$
deve essere intero, ne segue che $(h-2)(h+3)$ debba essere divisibile per $l$, ossia che $[(h-2)(h+3)]modl=0$. Ora, visto che
l'operatore mod gode della proprietà distributiva rispetto al prodotto, per la legge di annullamento del prodotto dovrà essere $(h-2)modl=0$ oppure
$(h+3)modl=0$ (il che è logico, visto che perché il prodotto $(h-2)(h+3)$ sia divisibile per $l$ è sufficiente che sia divisibile per $l$ uno dei due fattori...)
A questo punto, sviluppando la prima delle relazioni trovate, $(h-2)modl=0$ arrivo a $h-2=al$, dove $a$ è un parametro intero relativo.
Se vado a sostituire nell'equazione di adaBTTLS trovo che $(al+2-2)(al+2+3)=l(128l^2+144l+54)$, da cui ottengo
$l[128l^2+(144-a^2)l+54-5a]=0$.
Di qui ho dedotto che $l=0$ è una soluzione... Bisogna far vedere che però non ce ne sono altre... Non mi sembra che siamo troppo distanti, anche
se c'è da lavorarci sopra ancora un po'... Ti è tutto chiaro? cosa ne pensi?
io ho preso per buoni i tuoi calcoli... però da quello che hai scritto nell'ultimo messaggio, il famoso quadrato perfetto che hai citato in precedenza viene in maniera troppo simile per non essere la stessa cosa trovata da me a partire dagli altri tuoi calcoli...
insomma, sei sicuro che il coefficiente del termine di primo grado sia -512 e non +2560 ?
ciao.
insomma, sei sicuro che il coefficiente del termine di primo grado sia -512 e non +2560 ?
ciao.
Sì scusa, ho rifatto i conti adesso a mente fresca... ieri sera avevo probabilmente troppo sonno... il discriminante dell'equazione di secondo grado è $\Delta = a^4-288a^2+2560a-6912$
Naturalmente un'altra opportunità possibile è quella di far vedere che $(a^2-144+-sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912))/256$ non è mai intero...
Né l'una né l'altra strada, però, mi sembrano al momento facili da percorrere...
Né l'una né l'altra strada, però, mi sembrano al momento facili da percorrere...
senti, se ti vuoi divertire (io non ho tanto tempo), posso scriverti i tre casi che vengono fuori dalla vecchia equazione in h e l, a seconda delle conguenze modulo 3:
h congruo a 0, h+1 congruo a 1 -> l congruo a 0 (cioè se h è multiplo di 3 anche l è multiplo di 3)
h congruo a 2, h+1 congruo a 0 -> l congruo a 0 (cioè anche se h+1 è multiplo di 3, l è multiplo di 3)
h congruo a 1, h+1 congruo a 2 -> l ? si sa che $128l^3$ congruo a 2 (mod 3)
pensi che sia utile? ciao.
h congruo a 0, h+1 congruo a 1 -> l congruo a 0 (cioè se h è multiplo di 3 anche l è multiplo di 3)
h congruo a 2, h+1 congruo a 0 -> l congruo a 0 (cioè anche se h+1 è multiplo di 3, l è multiplo di 3)
h congruo a 1, h+1 congruo a 2 -> l ? si sa che $128l^3$ congruo a 2 (mod 3)
pensi che sia utile? ciao.
Intanto nell'ultimo caso sarà: $hmod3=1 rarr (h+1)mod3=2$ e quindi $(128l^3)mod3=1*2 rarr 128mod3*l^3mod3=2 rarr 2*(lmod3)^3=2 rarr lmod3=1$...
Nell'ipotesi di procedere in questo modo, dato che l'ipotesi è che la coppia $l=0$ e $h=2$ sia l'unica soluzione, bisogna far vedere che per $hmod3=0$ e $hmod3=1$ non ci sono soluzioni, mentre per $hmod3=2$, ossia $h=3a+2$ c'è una sola soluzione possibile...
Non so... adesso è di nuovo tardi... domani proverò a fare due conti...
Nell'ipotesi di procedere in questo modo, dato che l'ipotesi è che la coppia $l=0$ e $h=2$ sia l'unica soluzione, bisogna far vedere che per $hmod3=0$ e $hmod3=1$ non ci sono soluzioni, mentre per $hmod3=2$, ossia $h=3a+2$ c'è una sola soluzione possibile...
Non so... adesso è di nuovo tardi... domani proverò a fare due conti...
Ti posto quello che ho pensato io,spero poi tu possa continuare,sempre se il mio procedimento è corretto. abbiamo detto che:
$[a^2-144+-sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912)]/256=n$ con n intero. Dobbiamo dimostrare che non è mai possibile. Dividiamo il denominatore e considero solo uno dei due casi.
$[a^2-144]/256+-[sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912)]/256=n$.
Consideriamo $a^2-144=q256$ con q intero. Questo avviene solo se $q=1$ ovvero $a^2=400$ da cui $a=20$. Sostituendo questo valore dentro la radice,non viene un quadrato perfetto.(non ti sto a postare i conti,fidati..::wink:).
Bisognerebbe provare a fare un confronto dall'altra parte, ovvero $a^4-288a^2+2560a-6912=256n^2$. Ora purtroppo non ho tempo però. Ciao!
$[a^2-144+-sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912)]/256=n$ con n intero. Dobbiamo dimostrare che non è mai possibile. Dividiamo il denominatore e considero solo uno dei due casi.
$[a^2-144]/256+-[sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912)]/256=n$.
Consideriamo $a^2-144=q256$ con q intero. Questo avviene solo se $q=1$ ovvero $a^2=400$ da cui $a=20$. Sostituendo questo valore dentro la radice,non viene un quadrato perfetto.(non ti sto a postare i conti,fidati..::wink:).
Bisognerebbe provare a fare un confronto dall'altra parte, ovvero $a^4-288a^2+2560a-6912=256n^2$. Ora purtroppo non ho tempo però. Ciao!
Solo un'osservazione... perché $(a^2-144+-sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912))/256$ sia intero non bisogna solo prendere in considerazione i casi in cui $a^2-144$ e $sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912)$ siano separatamente divisibili per $256$... se si prende il segno meno, $a^2-144$ e $sqrt(a^4-288a^2+2560a-6912)$ potrebbero avere lo stesso resto nella divisione per 256... Ti faccio un esempio pratico: considera $14/3$ e $5/3$. Né $14$ né $5$ sono divisibili per $3$, eppure $14/3-5/3=(14-5)/3=9/3=3$ è divisibile per 3! Se invece prendi il segno più, allora può anche verificarsi il caso che $sqrt(\Delta)$ (abbrevio, tanto è chiaro cosa intendo) abbia come resto il complementare (non so se si chiama davvero così) di $a^2-144$, ossia $sqrt(\Delta)mod256=256-(a^2-144)mod256$...
P.S. correggi la svista! $20^2=400$
P.S. correggi la svista! $20^2=400$
sisi lo so,infatti..per quello non sapevo se questo procedimento potesse portare a qualcosa.. Se dimostriamo che entrambi non sono divisibili per 256,poi dobbiamo solo dimostrare che neanche la loro somma/differenza,lo è. Corretto cmq,grazie!
$2|m \implies 2|n \implies 4|m^2+2 \implies 4|2$, assurdo, per cui $n \equiv m \equiv 1_{(2)}$.
Operiamo nel campo $a+b\sqrt{-2}, (a,b) \in Z^2$ (nel senso chiuso rispetto a somma, prodotto..).
Consideriamo l'LHS dell'equazione originale $(m+\sqrt{-2})(m-\sqrt{-2})=n^3$: il gcd dei due fattori dividerà anche la loro differenza cioè $2\sqrt{-2}=-(\sqrt{-2})^3$, per cui il gcd sarà nell'insieme $\{2,2\sqrt{-2},\sqrt{-2}\}$, tutti multipli di $\sqrt{-2}$. Se i due fattori avessero dei fattori comuni allora $\sqrt{-2} | m+\sqrt{-2} \implies \sqrt{-2} | m \implies (\frac{m}{2}\sqrt{-2})$ è nel campo, assurdo in quanto $m \equiv 1_{(2)}$.
Per cui entrambi i fattori di LHS sono cubi di due elementi del campo stesso ( il cui prodotto è n). esistono quindi due interi $a$ e $b$ tali che $(a+b\sqrt{-2})^3=m+\sqrt{-2}$. eguagliando parti intere e "immaginarie" si ottiene che $3a^2b-2b^3=1 \implies |b|=1 \implies b=1 \text{ otherwise absurd }\implies 3a^2-2=1 \implies |a|=1 \implies |m|=5$, fine. la diofantea $m^2-2=n^3$ è analoga, ma non ha soluzioni.
Inizialmente anche io avevo iniziato la vostra strada, fattorizzando pero il tutto come $(m-5)(m+5)=(n-3)(n^2+3n+9)$, ottenete anche che n è conguo 3 mod8, ma vi assicuro che di quella terza potenza non vi libererete mai)
Operiamo nel campo $a+b\sqrt{-2}, (a,b) \in Z^2$ (nel senso chiuso rispetto a somma, prodotto..).
Consideriamo l'LHS dell'equazione originale $(m+\sqrt{-2})(m-\sqrt{-2})=n^3$: il gcd dei due fattori dividerà anche la loro differenza cioè $2\sqrt{-2}=-(\sqrt{-2})^3$, per cui il gcd sarà nell'insieme $\{2,2\sqrt{-2},\sqrt{-2}\}$, tutti multipli di $\sqrt{-2}$. Se i due fattori avessero dei fattori comuni allora $\sqrt{-2} | m+\sqrt{-2} \implies \sqrt{-2} | m \implies (\frac{m}{2}\sqrt{-2})$ è nel campo, assurdo in quanto $m \equiv 1_{(2)}$.
Per cui entrambi i fattori di LHS sono cubi di due elementi del campo stesso ( il cui prodotto è n). esistono quindi due interi $a$ e $b$ tali che $(a+b\sqrt{-2})^3=m+\sqrt{-2}$. eguagliando parti intere e "immaginarie" si ottiene che $3a^2b-2b^3=1 \implies |b|=1 \implies b=1 \text{ otherwise absurd }\implies 3a^2-2=1 \implies |a|=1 \implies |m|=5$, fine. la diofantea $m^2-2=n^3$ è analoga, ma non ha soluzioni.
Inizialmente anche io avevo iniziato la vostra strada, fattorizzando pero il tutto come $(m-5)(m+5)=(n-3)(n^2+3n+9)$, ottenete anche che n è conguo 3 mod8, ma vi assicuro che di quella terza potenza non vi libererete mai
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