2 quesiti
Ciao a tutti.
Vorrei chiedervi se potente rispondermi a questi due questi e, possibilmente, spiegandomi come ci siete arrivati.
1. Considerata questa funzione definita su numeri interi:
f(x) = x-10 se x>100;
f(x) = f(f(x+11)) se x≤100
a) Indicare quali valori assume la funzione per 90≤x≤101.
b) Sfruttando a) indicare quali valori assume f per x<90.
2. Come faccio a calcolare l'ultima cifra di una potenza senza avere una calcolatrice?
Ad esempio: 7^25?
Grazie infinite della vostra attenzione.
PS: Scusate se non ho messo le formule seguendo le vostre regole, me sono un po' fretta. Scusate
Vorrei chiedervi se potente rispondermi a questi due questi e, possibilmente, spiegandomi come ci siete arrivati.
1. Considerata questa funzione definita su numeri interi:
f(x) = x-10 se x>100;
f(x) = f(f(x+11)) se x≤100
a) Indicare quali valori assume la funzione per 90≤x≤101.
b) Sfruttando a) indicare quali valori assume f per x<90.
2. Come faccio a calcolare l'ultima cifra di una potenza senza avere una calcolatrice?
Ad esempio: 7^25?
Grazie infinite della vostra attenzione.
PS: Scusate se non ho messo le formule seguendo le vostre regole, me sono un po' fretta. Scusate
Risposte
Per scrivere bene le formule non ci vuole molto, basta che le metti tra due dollari (shift+4).
Il punto focale è capire quale sia la funzione $f(x)$ per $x<=100$.
Essa deve essere per forza un polinomio di primo grado. Infatti chiamato $k$ il grado di $f(x)$ sarebbe $k^2$ il grado di $f(f(x))$.
E due polinomi di gradi diversi non possono essere uguali per ogni valore di $x$.
perciò scritta $f(x)=ax+b$ sai che che $f(x+11)=a(x+11)+b$ e che quindi$ f(f(x+11))=a(ax+11a+b)+b$
$ax+b=a^2x+11a^2+ab+b$
Sai che le due espressioni devono essere equivalenti $AAx<=100$,
Ciò avviene se $a^2=a$ e $11a^2+ab+b=b$
$a=1vva=0$. Consideriamo il primo caso: $b=-11=>f(x)=x-11$ per $x<=100$. Qui ti basta sostituire per trovare i valori che cerchi.
Se $a=0$ $f(x)=b$ può assumere qualsiasi valore per $x<=100$
Per quanto riguarda il secondo devi semplicemente considerare semplicemente considerare solo l'ultima cifra dei numeri che ottieni. Devi poi tenere conti dei cicli che si trovano. Ad esempio l'ultima cifra di $7^a$ è pari all'ultima di $7^(a+3)$
ES $7^1=7$ ;$7^2=9$; $7^3=3$; $7^4=1$....$7^25=1$
Il punto focale è capire quale sia la funzione $f(x)$ per $x<=100$.
Essa deve essere per forza un polinomio di primo grado. Infatti chiamato $k$ il grado di $f(x)$ sarebbe $k^2$ il grado di $f(f(x))$.
E due polinomi di gradi diversi non possono essere uguali per ogni valore di $x$.
perciò scritta $f(x)=ax+b$ sai che che $f(x+11)=a(x+11)+b$ e che quindi$ f(f(x+11))=a(ax+11a+b)+b$
$ax+b=a^2x+11a^2+ab+b$
Sai che le due espressioni devono essere equivalenti $AAx<=100$,
Ciò avviene se $a^2=a$ e $11a^2+ab+b=b$
$a=1vva=0$. Consideriamo il primo caso: $b=-11=>f(x)=x-11$ per $x<=100$. Qui ti basta sostituire per trovare i valori che cerchi.
Se $a=0$ $f(x)=b$ può assumere qualsiasi valore per $x<=100$
Per quanto riguarda il secondo devi semplicemente considerare semplicemente considerare solo l'ultima cifra dei numeri che ottieni. Devi poi tenere conti dei cicli che si trovano. Ad esempio l'ultima cifra di $7^a$ è pari all'ultima di $7^(a+3)$
ES $7^1=7$ ;$7^2=9$; $7^3=3$; $7^4=1$....$7^25=1$
Non sono d'accordo con UmbertoM per la soluzione del primo quesito.
Ecco la mia soluzione:
domanda a)
$f(101)=91$
$f(100)=f(f(111))=f(101)=91$
Ponendo $x=90+n$, con $0<=n<=10$
In generale $f(x)=f(90+n)=f(f(101+n))=f(91+n)=f(x+1)=91$
Quindi per induzione $f(x)=91$ per ogni $x\in {90,91,92,...101}$
domanda b)
Dimostro per induzione su $x$ (a "decrescere") che $f(x)=91 \forall x<=101$. Il passo base l'abbiamo fatto nel punto (a).
Ipotesi induttiva: $f(101)=f(100)=f(99)=...=f(x)=91$
Passo induttivo:
$f(x-1)=f(f(x+10))=f(91)=91$
Spero di essere stato chiaro e soprattutto di non aver fatto errori!
Ecco la mia soluzione:
domanda a)
$f(101)=91$
$f(100)=f(f(111))=f(101)=91$
Ponendo $x=90+n$, con $0<=n<=10$
In generale $f(x)=f(90+n)=f(f(101+n))=f(91+n)=f(x+1)=91$
Quindi per induzione $f(x)=91$ per ogni $x\in {90,91,92,...101}$
domanda b)
Dimostro per induzione su $x$ (a "decrescere") che $f(x)=91 \forall x<=101$. Il passo base l'abbiamo fatto nel punto (a).
Ipotesi induttiva: $f(101)=f(100)=f(99)=...=f(x)=91$
Passo induttivo:
$f(x-1)=f(f(x+10))=f(91)=91$
Spero di essere stato chiaro e soprattutto di non aver fatto errori!
Grazie mille delle vostre risposte.
Una domanda solo: come fate ad arrivare fino a quel punto? Cioè da che cosa partite? E' un'illuminazione che vi viene ad ogni nuovo esercizio? Boh...io non ci riesco
Per la questione della potenza ti ringrazio. Però penso che la risposta corretta sia che l'ultima cifra si ripete ogni:
$7^(a+4)$
E che quindi la cifra finale di $7^25$ sia $7$. E' poi arrivata la conferma dalla calcolatrice.
Grazie ancora a tutti e due.
Una domanda solo: come fate ad arrivare fino a quel punto? Cioè da che cosa partite? E' un'illuminazione che vi viene ad ogni nuovo esercizio? Boh...io non ci riesco
Per la questione della potenza ti ringrazio. Però penso che la risposta corretta sia che l'ultima cifra si ripete ogni:
$7^(a+4)$
E che quindi la cifra finale di $7^25$ sia $7$. E' poi arrivata la conferma dalla calcolatrice.
Grazie ancora a tutti e due.
"messi_inbox":
Per la questione della potenza ti ringrazio. Però penso che la risposta corretta sia che l'ultima cifra si ripete ogni:
$7^(a+4)$
E che quindi la cifra finale di $7^25$ sia $7$. E' poi arrivata la conferma dalla calcolatrice.
E' vero, mi sono confuso infatti $7^1=7^5=..7^25=7$, sei stato bravo ad accorgertene, ma l'importante è che tu abbia capito la logica.
Per quanto riguarda il primo problema, ha ragione milizia, perché nel mio ragionamento non ho tenuto conto che tra tutti le possibili $f(x)=k$ o $f(x)=x-11$ solo $f(x)=91$ rispetta la condizione $f(x)=f(f(x+11))$
c'è un modo più semplice, se conosci le congruenze.
ma probabilmente, non è quello che cerchi.
ma probabilmente, non è quello che cerchi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo