18 punti sulla circonferenza

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6 mar 2018, 13:43

Se avete un po' di tempo libero ...

Il giochino consiste nel mettere sulla circonferenza più punti possibile, osservando la regola seguente:

Ad ogni punto che mettete, l'ennesimo, in aggiunta a quelli già posizionati precedentemente e che ovviamente rimangono fissati al loro posto, dovete dividere la circonferenza in $n$ parti (archi) uguali e gli $n$ punti devono appartenere ciascuno ad un arco differente.

Per quel che ne so, pare che nessuno sia riuscito a metterne più di diciassette ...

Cordialmente, Alex

Risposte

curie88

7 mar 2018, 00:01

axpgn

7 mar 2018, 00:17

Non ho capito cosa intendi ... comunque, ogni volta che metti un punto dividi di nuovo la circonferenza, la vecchia suddivisione sparisce; quando posizioni il quinto punto dividi la circonferenza in cinque parti uguali ($72°$), quando metti il sesto dividi la circonferenza in sei parti uguali ($60°$) e così via ... però la suddivisione deve essere fatta in modo tale che ogni punto appartenga ad un arco soltanto ... chiaro?

Cordialmente, Alex

curie88

7 mar 2018, 00:48

axpgn

7 mar 2018, 09:13

Sei completamente fuori strada ...
Mi sa che devo fare un esempio ...

Il primo punto $A$ lo metto dove voglio: decido di metterlo a $30°$. E dove l'ho messo, rimane, così come accadrà ai successivi.
Poi posiziono il secondo punto $B$ a $80°$. Siccome è il secondo, devo dividere la circonferenza in DUE parti uguali.
A questo punto, sarebbe carino fare un disegno ma non è strettamente necessario, è sufficiente indicare un estremo del primo arco, perciò decido di far iniziare l'arco a $60°$.
Ovvero il primo settore va da $60°$a $240°$ e comprende il punto $B$ mentre il secondo settore va da $240°$ a $60°$ e comprende il punto $A$. Come prescritto dalle regole.
Adesso posiziono il terzo punto $C$ a $180°$. Quindi devo dividere la circonferenza in tre parti uguali: la suddivisione precedente sparisce e ne creo una nuova che faccio partire da $50°$.
Cioè il primo settore è $50°<=B<170°$, il secondo è $170°<=C<290°$ ed il terzo è $290°<=A<50°$. Tutti e tre i punti stanno in settori diversi, secondo le regole. E così via, di punto in punto ...
Come detto, non ho notizia di qualcuno che sia riuscito a posarne $18$

Cordialmente, Alex

dan952

7 mar 2018, 16:34

Si potrebbe trasferire il problema su un segmento per semplificare i calcoli per una pseudo-dimostrazione dell'affermazione che non è possibile da un certo n in poi

axpgn

7 mar 2018, 16:38

Però quello è un altro gioco

Cordialmente, Alex

curie88

7 mar 2018, 17:05

Ok, non mi pare difficile, quindi il risultato è 17?
Se è cosi credo che i due procedimenti, portano allo stesso risultato non a caso, anche se il mio è meno immediato.

dan952

7 mar 2018, 17:20

Se identifico gli estremi del segmento con un punto ottengo una circonferenza tuttavia il punto "identificato" è fisso e questo effettivamente può limitare il gioco

axpgn

7 mar 2018, 18:00

@curie88

"Non mi pare difficile" cosa? È un gioco, un passatempo a chi riesce a mettere più punti ... Non esiste un "risultato" da raggiungere casomai puoi tentare di dimostrare che esiste un limite (oppure che non esiste) ai punti che si possono posizionare sulla circonferenza in quel modo (che penso sia quello che voglia fare dan95)

@dan95
Non ho capito cosa vuoi dire, sorry ...comunque tra il segmento e la circonferenza non dovrebbero esserci differenze in quanto si può dire che le suddivisioni "non contano" (potresti già fissarle a priori), quello che conta veramente (ed è la parte difficile da trovare) sono le distanze "relative" tra i punti ...

Cordialmente, Alex

curie88

8 mar 2018, 19:28

Ciao, axpgn, ho qualche idea,ma devo aver ben chiaro il problema, se ho ben capito i punti restano tutti, è cosi?
Inoltre i punti scelti arbitrariamente oltre al primo quali sono? Quelli compresi tra i settori creati?

axpgn

8 mar 2018, 19:43

Tutti i punti sono scelti arbitrariamente, sei tu che li posizioni ... e devi farlo in modo tale da rispettare la regola: quando metti il punto $n$-esimo, dividi la circonferenza in $n$ parti uguali in modo tale che in ogni settore ci sia uno (e uno solo) degli $n$ punti

curie88

8 mar 2018, 22:05

Ok, fin qui, avevo quindi, interpretato bene, non devo considerare cioè i punti per creare le ampiezze dei settori ma solo quelli che vi stanno dentro? Inoltre la suddivisione parte sempre a partire dall` ultimo punto posizionato, cioè interno al settore ennesimo?

axpgn

8 mar 2018, 22:35

I punti che devi considerare sono solo quelli che metti tu (dove vuoi tu); i punti che servono da estremi delle suddivisioni non c'entrano niente, sono solo gli estremi che delimitano gli archi ma non sono da considerare.

"curie88":
Inoltre la suddivisione parte sempre a partire dall`ultimo punto posizionato,

No, perché? Non solo non sta scritto da nessuna parte, ma il posizionamento delle suddivisioni rispetto ai punti posati è l'essenza del gioco.

Cordialmente, Alex