$100$ numeri

[axpgn]

Tra i cento numeri da $1$ a $100$ ne estraggo $18$ a caso e li sommo.

La probabilità che la somma sia pari è minore, uguale o maggiore di $1/2$ ?

E se ne estraggo $19$ ?
E se ne estraggo $20$ ?



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Direi
18: p < 1/2
19: p = 1/2
20: p > 1/2

E finche' ci siamo.... Buon Natale !

[axpgn]

Perché?

Buon Natale anche a te

[Umby2]

Ricordo che tale argomento, lo abbiamo trattato un bel po di tempo fa,
penso nella sezione "statistica".

Se ricordo bene,

si stabilì, che per un numero di estrazioni dispari, la % della somma era al 50% (tra pari e dispari),
mentre, per un numero pari,
oscillava tra P>D e D>P
qualcosa del tipo:

1 --> Parità
2 --> P<D
3 --> Parità
4 -->     P>D
5 --> Parità
6 --> P<D 
...

[axpgn]

OK ma perché? Non è necessaria la statistica per dimostrarlo ...

[Quinzio]

La formuletta che conta il numero di combinazioni che danno somma pari e' questa:

$\sum_{a=0}^k (-1)^a ((nd),(a)) ((np),(k-a)) $

Dove:
$nd$ e' la quantita' di numeri dispari nell'insieme da cui si fa l'estrazione (nel nostro caso sono 50, ovvero sono i numeri 1, 3, 5, ..., 99)
$np$ e' la quantita' di numeri pari nell'insieme da cui si fa l'estrazione (nel nostro caso sono sempre 50, ovvero sono i numeri 2, 4, 6, ..., 100)
$k$ e' la quantita' di numeri estratti (nel nostro caso 18)

La sommatoria e' positiva se ci sono piu' modi che la somma dei numeri sia pari, altrimenti e' negativa.
Se $k$ e' a sua volta dispari, per motivi di simmetria gli addendi si cancellano a due a due e la sommatoria e' nulla.
Se $k/2$ e' dispari, la sommatoria e' negativa e la probabilita' e' a favore della somma dispari.
Se $k/2$ e' pari, la sommatoria e' positiva e la probabilita' e' a favore della somma pari.

Quella sommatoria, se si omette il segno alternante, e' una convoluzione di binomiali.

[axpgn]