1 o -1

[Folpo13]

Ognuno dei numeri $a_1$, $a_2$, $a_3$ ... $a_n$ è uguale a $1$ oppure a $-1$. Si sa inoltre che
$a_1a_2a_3a_4 + a_2a_3a_4a_5 + ... + a_ia_(i+1)a_(i+2)a_(i+3) + ... +a_(n-1)a_na_1a_2+a_na_1a_2a_3=0$

Dimostra che $n$ è divisibile per $4$.




Problema tratto da Problem-Solving Strategies di Arthur Engel

[axpgn]

Tutti gli addendi hanno valore $1$ o $-1$.
Ne consegue che gli addendi siano in numero pari (metà positivi e metà negativi) e quindi $n$ è pari.
Se cambiamo di segno uno qualsiasi degli $a_k$, il valore della somma varierà di $0$ o di $+-4$ o di $+-8$; se i quattro termini a cui appartiene $a_k$ sono tutti dello stesso segno avremo una variazione di $+-8$ nella somma, se tre termini su quattro a cui appartiene $a_k$ sono dello stesso segno avremo una variazione di $+-4$ nella somma, se due termini sono positivi e due negativi la somma non varia.
Quindi, in tutti i casi, il resto della divisione della somma per $4$ rimane costante ed è zero ovvero la somma è sempre divisibile per quattro.
Perciò se noi cambiamo di segno, uno alla volta, gli $a_k$ negativi, alla fine avremo $n$ addendi pari a $1$ e quindi la somma sarà pari a $n$ e dato che la somma è sempre divisibile per $4$ anche $n$, in quanto somma, lo sarà.

Cordialmente, Alex

[Folpo13]