1 e soltanto 1
Tutti i numeri interi possono essere espressi attraverso una determinata quantità di 1, di simboli + e x e di parentesi. Il numero 7, per esempio, richiede almeno sei 1: $7=(1+1)*(1+1+1)+1$. Il numero 80, invece, ne richiede tredici: $80=(1+1+1+1+1)*(1+1+1+1)*(1+1+1+1)$. Il numero 467 è il numero più piccolo che richiede più di venti 1 per poter essere rappresentato.
Riuscireste a rappresentare il numero 466 tramite non più di venti 1, servendovi dei simboli + e x e delle parentesi necessarie?
Riuscireste a rappresentare il numero 466 tramite non più di venti 1, servendovi dei simboli + e x e delle parentesi necessarie?
Risposte
Bea
Entrambe valide, le soluzioni. Vediamo se si riesce con meno di venti 1
$(2*3*5) + 1 * 5*3 + 1$ oppure $ [(3*2)+1*(2*2)+1*2*2*2+1]*2$ entrambe con 20, purtroppo...
"Delirium":
467 è il numero più piccolo che richiede più di venti 1 per poter essere rappresentato.
Riuscireste a rappresentare il numero 466 tramite non più di venti 1
...
Vediamo se si riesce con meno di venti 1
mmm, mi sembra che 20 sia il numero minimo, con meno non sembra si possa.
Ed è curioso, ma pare legato alla fattorizzazione del numero.
Proviamo a dimostrare che 20 è il numero minimo (o, in generale, come si calcola il numero minimo di 1 per esprimere il numero)?
Ad occhio mi sembra di poter dire che se fattorizzo un numero n ed uso, per ogni fattore, il minor numero di 1 per rappresentarlo, ottengo il minor numero di 1 necessari per rappresentare n stesso.
Sarebbe da capire come si trova il minor numero di 1 necessari per rappresentare un primo.
Ragionando per un momento a tentativi, mi par di capire che o un primo si rappresenta bene come somma di 1 (es: 2=1+1, 3=1+1+1, 5=1+1+1+1+1) oppure posso sottrarre 1 e fattorizzare il residuo, e in questo caso dovrei iterare la procedura (es: 7=6+1=3*2+1=(1+1+1)*(1+1)+1)
Infatti la mia rappresentazione è stata costruita così:
466 =233*2=(232+1)*2=((29*2*2*2)+1)*2=((((7*2*2)+1)*2*2*2)+1)*2=((((((3*2)+1)*2*2)+1)*2*2*2)+1)*2
Ancora, potremmo definire i fattori 2, 3 e 5 come "primari", nel senso che i numeri primi successivi hanno la loro miglior rappresentazione sotto forma di 1 se rappresentati attraverso il prodotto di potenze di 2, 3 e 5 e somme di 1.
Infatti per questi 3 primi sono equivalenti tutte le forme di rappresentazione.
2 e 3 sono "facili" nel senso che se ne ha 1 sola (2=1+1, 3=1+1+1), 5 invece è indifferente se lo esprimiamo come 5=1+1+1+1+1 o come 5=2*2+1 = (1+1)*(1+1)+1 (e quindi, per compattezza di rappresentazione, lo uso come "primario" per poter scrivere 5 anziché (2*2)+1 nella rappresentazione con gli 1).
I primi successivi invece possono essere espressi meglio se rappresentati, come dicevo prima, attraverso il prodotto di potenze di 2, 3 e 5 e somme di 1.
Ad esempio, 7=3*2+1 che è migliore di 7=1+1+1+1+1+1+1, 11=5*2+1, che è meglio di 11=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1...
Che ne dite, proviamo a dimostrare?
La funzione che associa ad ogni naturale il minimo numero di "1" per rappresentarlo non è monotona.
Esempio:
11=5*2+1=3*3+2 -> ci vogliono 8 "1"
12=4*3=2*2*3 -> ci vogliono 7 "1"
Esempio:
11=5*2+1=3*3+2 -> ci vogliono 8 "1"
12=4*3=2*2*3 -> ci vogliono 7 "1"
"blackbishop13":
[quote="Delirium"]467 è il numero più piccolo che richiede più di venti 1 per poter essere rappresentato.
Riuscireste a rappresentare il numero 466 tramite non più di venti 1
...
Vediamo se si riesce con meno di venti 1
[/quote]Il problema dice tramite non più di venti 1, il che potrebbe anche implicare la possibilità di raggiungere il risultato con meno di venti 1, o no? Che poi un tale risultato non esista, questa è un'altra storia. Quantomeno la mia esortazione, se non del tutto ragionata (?), ha comunque attinenza con le "regole" suggerite dal testo del quesito.
Ho detto una boiata? Chiedo venia, non ho nozioni sufficienti per escludere a priori quest'ipotesi.
"cenzo":
La funzione che associa ad ogni naturale il minimo numero di "1" per rappresentarlo non è monotona.
Esempio:
11=5*2+1=3*3+2 -> ci vogliono 8 "1"
12=4*3=2*2*3 -> ci vogliono 7 "1"
Scusa, non ho capito dove vuoi arrivare...
O è solo una semplice constatazione?
Forse Cenzo voleva dire che al crescere di un numero, non sempre cresce il numero di 1 necessari a rappresentarlo...
Delirium proprio tu hai scritto: "servono più di venti 1 per rappresentare il numero 467"
quindi non puoi di certo scrivere il numero 466 con meno di venti 1, altrimenti poi ti basterebbe scrivere 467=466+1 e avresti scritto il numero 467 con al più venti 1....
quindi non era un'esortazione molto ragionata.
quindi non puoi di certo scrivere il numero 466 con meno di venti 1, altrimenti poi ti basterebbe scrivere 467=466+1 e avresti scritto il numero 467 con al più venti 1....
quindi non era un'esortazione molto ragionata.
Giusto. Imprecisa però allora la dicitura "riuscireste a rappresentare il numero 466 tramite non più di venti 1" che ho interpretato, forse erroneamente, come $<=20$; ne consegue quindi che l'imprecisione potrebbe essere nell'enunciato. Ciò non toglie che comunque non ho colto l'implicazione.
l'errore sta nella tua interpretazione, l'enunciato è ineccepibile.
se ti dico $x<=20$ nulla ti deve far pensare che sia probabile $x<20$
se ti dico $x<=20$ nulla ti deve far pensare che sia probabile $x<20$
"Meringolo":
Forse Cenzo voleva dire che al crescere di un numero, non sempre cresce il numero di 1 necessari a rappresentarlo...
continuo a non capire, forse perché mi manca qualche concetto matematico (d'altronde, non sono un matematico...)
è riferito a quanto ho detto io?
Edit: No aspetta, forse ho capito. è riferito al quesito iniziale: il fatto che 467 si scriva con 21 1 non implica che 466 si scriva con meno...
"canemacchina":
[quote="Meringolo"]Forse Cenzo voleva dire che al crescere di un numero, non sempre cresce il numero di 1 necessari a rappresentarlo...
continuo a non capire, forse perché mi manca qualche concetto matematico (d'altronde, non sono un matematico...)
è riferito a quanto ho detto io?[/quote]
Era una semplice constatazione, nulla di più.
"blackbishop13":
l'errore sta nella tua interpretazione, l'enunciato è ineccepibile.
se ti dico $x<=20$ nulla ti deve far pensare che sia probabile $x<20$
Pardon, ma come tradurresti in termini matematici "riuscireste a rappresentare il numero 466 tramite non più di venti 1"? E' palesemente da escludersi che il numero degli uno utilizzabile debba essere superiore a venti; è invece corretta la soluzione che utilizzi venti 1, lo si è appurato. E' altresì corretta la soluzione che utilizzi meno di venti 1? L'enunciato pare prevederlo. Continuo, forse perseverando nell'errore, ad interpretarlo come un $<=20$.
Ma forse continuo a vedere bieco.
Comunque incasso: l'evidenza mi dà torto.
Delirium, è tutto corretto, non c'è nessun errore nel tuo ultimo discorso. Solo, ti è stato fatto notare che nell'enunciato originale c'era qualcosa in più, che esclude a priori la possibilità ci sia una soluzione con meno di venti '1'.
Il qualcosa in più era: servono più di venti 1 per rappresentare il numero 467
Dal che se ne deduce che è impossibile rappresentare 466 con meno di venti uno.
Quindi stiamo cercando un numero $x$ tc. $x<=20$, e contemporaneamente sai che $x>=20$, quindi hai che $x=20$.
E quindi è inutile cercare la soluzione con $x<20$
Il qualcosa in più era: servono più di venti 1 per rappresentare il numero 467
Dal che se ne deduce che è impossibile rappresentare 466 con meno di venti uno.
Quindi stiamo cercando un numero $x$ tc. $x<=20$, e contemporaneamente sai che $x>=20$, quindi hai che $x=20$.
E quindi è inutile cercare la soluzione con $x<20$
Ok chiaro, nessun problema. La presa di coscienza e l'accettazione dei miei errori è una mia prerogativa esistenziale.
"Delirium":
La presa di coscienza e l'accettazione dei miei errori è una mia prerogativa esistenziale.
Pregevole, ma il ganzo è che qui l'errore non c'era.
Quantomeno un lapsus mentis allora, una mancata intuizione del nesso.
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