Prodotti notevoli (200928)

[Mimmi00]

Non capisco questa espressione..

(a-b)^3 + 3(a-b)^2(a+b) + 3(a-b)(a+b)^2 + (a+b)^3

Nella 1 parte cioé (a-b)^3 credo che devo calcolare il cubo di binomio.
Nella 2 e 3 parte invece,non capisco se prima devo calcolare il quadrato di binomio e poi calcolare il prodotto della somma dei monomi per la loro dofferenza.
Immagino che mi sono espressa abbastanza male,peró aiutatemi perche non ci sto capendo piu niente!

[Studente Anonimo]

Ricordando che

[math]x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3[/math]

, l'espressione
che hai scritto equivale a

[math][(a - b) + (a + b)]^3 = (2a)^3 = 8a^3[/math]

. Ok? :)

[Mimmi00]

Io non ho capito cosa devo fare qui:
3(a-b)^2(a+b) e 3(a-b)(a+b)^2
Come faccio?!
Grazie :)

[Studente Anonimo]

Il fatto è che non devi sviluppare alcun prodotto, bensì solo osservare:

[math]
\small
\begin{aligned}
& (x)^3 + 3\,(x)^2\,(y) + 3\,(x)\,(y)^2 + (y)^3 = [(x) + (y)]^3 \\
& (a - b)^3 + 3\,(a - b)^2\,(a + b) + 3\,(a - b)\,(a + b)^2 + (a + b)^3 = [(a - b) + (a + b)]^3 \\
\end{aligned} \\
[/math]

Come si suol dire, la seconda espressione è una "sovrastruttura" della prima,
ossia sono sostanzialmente la stessa cosa a differenza del fatto che la seconda
presenta delle "complicazioni". Ora, è obbligatorio avere questo "occhio clinico"?
No, si può benissimo sviluppare tutti e quanti i prodotti e procedere sommando
i monomi simili (semplificando il tutto). Così facendo, però, non ci si dovrà mera-
vigliare se le verifiche di matematica risulteranno eterne e interminabili nei tempi
imposti dall'insegnante.

Ok? :)