Esercizi sulla parabola
- determina l'area del triangolo ABF, dove A e B sono i punti di intersezione della retta di equazione x-3y-1=0 con la parabola di equazione x=-y^2 +2y+1 ed F è il fuoco della parabola. Soluzione (9/8)
- una parabola ha il vertice V di coordinate (- 1/2; 1/2) e la direttrice D di equazione y=3/8. trova la sua equazione. Sol (y=2x^2+2x+1)
-determina l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, che passa per il punto A(1;0) e che ha vertice in V(3/2; 1/4) sol( y= -x^2 +3x-2)
- determina l'area del segmento parabolico definito dalla parabola di equazione y= -1/2x^2 -2x -3 e dalla retta ke congiunge i due punti della parabola di ascissa -7 e -1..
sol (18)..
non riesco a farli, mi potete aiutare per favore? mi servono per domani! grazie in anticipo
- una parabola ha il vertice V di coordinate (- 1/2; 1/2) e la direttrice D di equazione y=3/8. trova la sua equazione. Sol (y=2x^2+2x+1)
-determina l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, che passa per il punto A(1;0) e che ha vertice in V(3/2; 1/4) sol( y= -x^2 +3x-2)
- determina l'area del segmento parabolico definito dalla parabola di equazione y= -1/2x^2 -2x -3 e dalla retta ke congiunge i due punti della parabola di ascissa -7 e -1..
sol (18)..
non riesco a farli, mi potete aiutare per favore? mi servono per domani! grazie in anticipo
Risposte
Ti do una traccia, poi se non riesci seguiamo passo per passo i passaggi:
1) I punti di intersezione tra la retta e la parabola sono quelle coppie di coordinate (ascissa e ordinata) che soddisfano sia l'equazione della retta che l'equazione della parabola. L'operatore matematico che riassume questo concetto è il sistema.
I punti di intersezione sono A(4;1) B(1;0)
Il fuoco della parabola (trattandosi di una parabola "coricata" ovvero simmetrica rispetto ad una retta parallela all'asse x) ha coordinate:
E pertanto F(1/4;-1)
A questo punto, siccome per calcolare l'area del triangolo ti occorre una base e la rispettiva altezzaa, sarà sufficiente che ti calcolerai:
La distanza tra due punti (Ad esempio la distanza tra A e B)= base
La distanza tra il terzo punto (Ad esempio F e la retta passante per AB)=altezza.
Poi.. base x altezza :2 !
Dimmi se riesci, così passiamo al secondo.
1) I punti di intersezione tra la retta e la parabola sono quelle coppie di coordinate (ascissa e ordinata) che soddisfano sia l'equazione della retta che l'equazione della parabola. L'operatore matematico che riassume questo concetto è il sistema.
I punti di intersezione sono A(4;1) B(1;0)
Il fuoco della parabola (trattandosi di una parabola "coricata" ovvero simmetrica rispetto ad una retta parallela all'asse x) ha coordinate:
[math]\ x_F = \frac{1- \ DELTA}{4a}[/math]
[math]\ y_F = \frac{-b}{2a}[/math]
E pertanto F(1/4;-1)
A questo punto, siccome per calcolare l'area del triangolo ti occorre una base e la rispettiva altezzaa, sarà sufficiente che ti calcolerai:
La distanza tra due punti (Ad esempio la distanza tra A e B)= base
La distanza tra il terzo punto (Ad esempio F e la retta passante per AB)=altezza.
Poi.. base x altezza :2 !
Dimmi se riesci, così passiamo al secondo.
ciao....vado in classe con martina,,,le ho app chiamato.
potete passare al secondo
potete passare al secondo
Anche per il secondo il procedimento è pressapoco lo stesso.
Dobbiamo trovare la parabola che soddisfi i requisiti dell'esercizio.
Al fine di poter avere l'equazione di una parabola (ovvero al fine di trovare a,b e c) occorrono 3 informazioni.
Sappiamoo che:
la direttirce è della forma y=k ovvero è parallela all'asse delle x. La parabola che cerchiamo, pertanto, sarà della forma y=ax^2+bx+c.
A questo punto impostiamo un sistema ovvero imponiamo alla nostra parabola generica di coordinate y=ax^2+bx+c di avere contemporaneamente:
direttrice y=3/8
X del vertice = -1/2
y del vertice=1/2
Quindi
Ovviamente dove
Troviamo così i valori di a di b e di c dell'unica parabola che soddisfa le tre condizioni imposte.
Dobbiamo trovare la parabola che soddisfi i requisiti dell'esercizio.
Al fine di poter avere l'equazione di una parabola (ovvero al fine di trovare a,b e c) occorrono 3 informazioni.
Sappiamoo che:
la direttirce è della forma y=k ovvero è parallela all'asse delle x. La parabola che cerchiamo, pertanto, sarà della forma y=ax^2+bx+c.
A questo punto impostiamo un sistema ovvero imponiamo alla nostra parabola generica di coordinate y=ax^2+bx+c di avere contemporaneamente:
direttrice y=3/8
X del vertice = -1/2
y del vertice=1/2
Quindi
[math] \{ \frac{1+ \Delta}{4a} = \frac{3}{8} \\ \frac{-b}{2a}= - \frac{1}{2} \\ - \frac{\Delta}{4a} = \frac{1}{2}[/math]
Ovviamente dove
[math] \Delta = b^2 - 4ac [/math]
Troviamo così i valori di a di b e di c dell'unica parabola che soddisfa le tre condizioni imposte.
gli altri riuscite? almeno 1?
determina l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y, che passa per il punto A(1;0) e che ha vertice in V(3/2; 1/4) sol( y= -x^2 +3x-2)
Se l'asse di simmetria è parallelo all'asse y, vuol dire che anche questa parabola è della forma y=ax^2+bx+c.
Anche qui abbiamo tre informazioni:
Mettiamo a sistema x del vertice, y del vertice (come sopra).
La terza condizione che metteremo nel sistema è che il punto A appartenga alla parabola.
Condizione di appartenenza di un punto ad una qualunque funzione, è che questo punto soddisfi l'equazione stessa.
In questo caso A(1,0) (ovvero x=1 y=0)
Sostituisco nella parabola generica.
0=a1^2+b1+c ==> a+b+c=0
A sistema con le altre due condizioni, troverò (come prima) i valori di a b c che mi occorrono.
Se l'asse di simmetria è parallelo all'asse y, vuol dire che anche questa parabola è della forma y=ax^2+bx+c.
Anche qui abbiamo tre informazioni:
Mettiamo a sistema x del vertice, y del vertice (come sopra).
La terza condizione che metteremo nel sistema è che il punto A appartenga alla parabola.
Condizione di appartenenza di un punto ad una qualunque funzione, è che questo punto soddisfi l'equazione stessa.
In questo caso A(1,0) (ovvero x=1 y=0)
Sostituisco nella parabola generica.
0=a1^2+b1+c ==> a+b+c=0
A sistema con le altre due condizioni, troverò (come prima) i valori di a b c che mi occorrono.
grazie 1000!!
se riuscite l'altro...altrimenti fa nnt
se riuscite l'altro...altrimenti fa nnt
determina l'area del segmento parabolico definito dalla parabola di equazione y= -1/2x^2 -2x -3 e dalla retta ke congiunge i due punti della parabola di ascissa -7 e -1..
Per trovare l'area del segmento parabolico è sufficiente avere l'ascissa dei punti di intersezione della retta con la parabola.
Qui il problema ce li dà già.
Se non li avessimo avuti, comunque, ma avessimo avuto la retta, sarebbe stato sufficiente mettere a sistema l'equazione della retta con quella della parabola e trovare le due coppie di punti (x,y) che appartengono sia alla retta che alla parabola.
In questo caso non serve, perchè le ascisse dei due punti di intersezione le abbiamo già.
L'area del segmento parabolico è:
|a| è il valore assoluto del parametro "a" della parabola (nel nostro caso 2)
Pertanto
Per trovare l'area del segmento parabolico è sufficiente avere l'ascissa dei punti di intersezione della retta con la parabola.
Qui il problema ce li dà già.
Se non li avessimo avuti, comunque, ma avessimo avuto la retta, sarebbe stato sufficiente mettere a sistema l'equazione della retta con quella della parabola e trovare le due coppie di punti (x,y) che appartengono sia alla retta che alla parabola.
In questo caso non serve, perchè le ascisse dei due punti di intersezione le abbiamo già.
L'area del segmento parabolico è:
[math] \frac{|a|}{6}(x_B-x_A)^3[/math]
[math] \ x_B [/math]
è l'ascissa piùalta (nel nostro caso -1)|a| è il valore assoluto del parametro "a" della parabola (nel nostro caso 2)
Pertanto
[math] \frac{|2|}{6}(-1-(-7))^3 = \frac{1}{3}(6)^3= \frac{216}{3} = 72 [/math]
grazieeee
mi ha detto che si può chiuder
mi ha detto che si può chiuder
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