Massimi e minimi, estremo superiore e inferiore di una funzione

[Giorgia2607]

Ciao a tutti!!
La funzione f(x)= (x-1)/x definita sull'intervallo I= [1,+00). Allora
a) maxf(x)=1, mi(fx)=0
b)supf(x)=1,minf(x)=0
c)supf(x)=1,inff(x)=0
d)maxf(x)=1,inff(x)=0

La risposta corretta è la B.

Non riesco a capire perchè. Io l'ho risolto così:

f'(x)= 1/x^2

1/x^2>0 sempre-(0)

quindi nell'intervallo [1,+00) 1 è min e minf(1)=0
il sup come fa a venire???

[ciampax]

La funzione è

[math]f(x)=1-\frac{1}{x}[/math]

e la sua derivata risulta

[math]f'(x)=\frac{1}{x^2}[/math]

per cui la funzione risulta sempre crescente. Dunque, ovviamente, il minimo della funzione si ha per

[math]x=1[/math]

e vale

[math]f(1)=0[/math]

.
Però non ti sei chiesta una cosa: visto che la funzione cresce sempre, dove va a finire? Facendo il limite

[math]\lim_{x\to+\infty} f(x)=1[/math]

puoi osservare che la funzione ha un asintoto orizzontale in

[math]y=1[/math]

: dal momento che devi arrivare a questo valore "salendo" dal valore zero (il minimo), ne risulta che

[math]\sup f(x)=1[/math]