Termodinamica (218258)

[rossiandrea]

Scusate, di termodinamica non ci capisco un tubo... Potreste gentilmente spiegarmi come si risolve questo esercizio?

Un gas perfetto monoatomico si espande a pressione costante e la sua energia interna aumenta di 6 kJ. Quanto calore assorbe il gas?

[mc2]

Accidenti, ho sbagliato il calcolo di W!
Scusami, ecco la soluzione corretta e cancella quello che ho scritto prima



Primo principio della termodinamica:

Per un sistema che compie una trasformazione scambiando la quantita` di calore

[math]Q[/math]

, compiendo il lavoro

[math]W[/math]

e variando la propria energia interna di

[math]\Delta U[/math]

si ha:

[math]Q=W+\Delta U[/math]

Valgono le seguenti convenzioni:

[math]Q[/math]

e` positivo se e` assorbito dal sistema

[math]W[/math]

e` positivo se e` un lavoro compiuto dal sistema (che quindi si espande).

Importante ricordare che

[math]Q[/math]

e

[math]W[/math]

dipendono dal tipo di trasformazione seguita!

Invece l'energia interna e` una funzione di stato: significa che la sua variazione in una trasformazione non dipende dal tipo di trasformazione, ma solo dagli stati iniziale e finale. In particolare, per un gas perfetto (o ideale) dipende solo dalla temperatura (assoluta, espressa in Kelvin!!):

[math]\Delta U=nc_V\Delta T[/math]

,

[math]n[/math]

e` il numero di moli,

[math]c_V[/math]

e` il calore specifico a volume costante del gas in esame.

Per il gas perfetto monoatomico, si ha

[math]c_V=\frac{3}{2}R[/math]

, essendo

[math]R[/math]

la costante dei gas ideali.


Quindi per il tuo problema:

[math]\Delta U=n c_V\Delta T[/math]

da cui si ricava:

[math]n\Delta T=\frac{\Delta U}{c_V}[/math]

Per calcolare

[math]Q[/math]

bisogna avere anche

[math]W[/math]

:
il lavoro compiuto a pressione costante e`:

[math]W=p\Delta V=nR\Delta T[/math]

(ho usato la legge dei gas perfetti: pV=nRT)

Quindi:

[math]W=R\cdot n\Delta T=R\frac{\Delta U}{c_V}[/math]

Il calore assorbito dunque e`:

[math]Q=W+\Delta U=(\frac{R}{c_V}+1)\Delta U=\frac{R+c_V}{c_V}\Delta U=
\gamma \Delta U[/math]

,

avendo usato la relazione (di Mayer):

[math]R=c_p-c_V[/math]

, dove

[math]c_p[/math]

e` il calore specifico a pressione costante, che per un gas ideale monoatomico vale

[math]c_p=\frac{5}{2}R[/math]

.
La costante

[math]\gamma=\frac{c_p}{c_V}[/math]

si chiama costante adiabatica e, per un gas perfetto monoatomico vale:

[math]\gamma=\frac{5}{3}[/math]

.

[math]Q=\frac{5}{3}\Delta U=\frac{5}{3}\cdot 6~kJ=10~kJ[/math]

Coraggio: la termodinamica e` piena di costanti e piccole formule da ricordare... ci va molta pazienza!

Ed e` anche piena di insidie !!!

[rossiandrea]

Grazie mille!
Il procedimento è tutto molto chiaro e le formule delle costanti mi sono di grande aiuto. Mi sto armando di grande pazienza per memorizzarle tutte... Il risultato però dovrebbe essere Q = 10 kJ . C'è qualche cosa che non abbiamo considerato o è semplicemente un errore del testo?

[mc2]

C'era un errore nella soluzione precedente, ora e` corretto. Ciao e scusa.

[rossiandrea]

Nessun problema. :)
Tutto chiarissimo. Bisogna "solo" ricordare tutte le formuline e stare più che attenti quando si applicano.
Grazie mille!

[mc2]

Una piccola aggiunta (un'altra formulina, ma molto utile):

Abbiamo trovato

[math]Q=\gamma\Delta U[/math]

usando la definizioni di

[math]\gamma[/math]

e l'epsressione di

[math]\Delta U[/math]

per un gas ideale si puo` anche scrivere:

[math]Q=\frac{c_p}{c_V}\cdot nc_V\Delta T= n c_p \Delta T[/math]

che e` il modo piu` rapido per calcolare Q per una trasformazione isobara, cioe` a pressione costante.

Ma non ti venga in mente di usarla per trasformazioni a pressione non costante! Guai!