Esercizio sulla legge di Faraday Neumann Lenz

[pietrodelia9]

Buongiorno a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio. Qualcuno può aiutarmi ?
Su un piano orizzontale sono posti due binari rettilinei paralleli di resistenza trascurabile e collegati a un generatore che fornisce una differenza di potenziale V0 = 101 V.
Su di essi è libera di muoversi una sbarra di lunghezza L = 1,0 m e resistenza R = 10 Ohm perpendicolare ai binari.
La sbarra è collegata, tramite una corda inestensibile e di massa trascurabile che scorre su una carrucola, a un corpo di massa m = 102 gr che muovendosi verso il basso sotto l'azione della forza-peso tende a tirare la sbarra facendola scivolare sui binari.
Tutto il sistema è immerso in un campo magnetico B = 10 T uniforme, costante, perpendicolare al piano delle rotaie ed uscente dal piano.
Trascura tutti gli attriti e la resistenza dei binari.
Calcola la velocità di regime della sbarra.
Risposta 10 m/s

[stefanognr]

Comincierei con il considerare il caso senza peso.
In questa semplificazione la differenza di potenziale

[math]V_0=101V[/math]

causa una corrente quantificabile con la legge di Omh

[math]I=\frac{V_0}{R},[/math]

dove

[math]R=10 \Omega[/math]

è la resistenza della sbarra conduttrice.
Il fenomeno di conduzione avviene in un campo magnetico di intensità

[math]B=10T[/math]

perciò il filo sarà soggetto alla forza di Lorentz

[math]\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}[/math]

che, data la perpendicolarità tra il vettore lunghezza

[math]\vec{L}[/math]

e il vettore campo magnetico

[math]\vec{B}[/math]

, è semplificabile in

[math]F=ILB=\frac{VLB}{R}[/math]

.
Tale forza ha come conseguenza l'innesco del moto della sbarretta ( con verso che dipende dalla polarizazione del generatore ) modificando l'area

[math]\Sigma[/math]

del circuito e quindi anche il flusso

[math]\Phi_\Sigma(\vec{B})=\int_{\Sigma} \vec{B}\vec{n}d\Sigma[/math]

del campo magnetico

[math]\vec{B}[/math]

attraverso la superficie

[math]\Sigma[/math]

orientata lungo il versore

[math]\vec{n}[/math]

.
Dal momento che il campo magnetico è omogeneo ed orientato come il versore normale alla superficie, l'espressione del flusso si semplifica in

[math]\Phi_\Sigma(\vec{B})=B\Sigma=BLx[/math]

dove x è la distanza tra la sbarra ed il lato opposto del circuito.
La variazione del flusso causerà una forza controelettromotrice lungo la sbarretta pari a

[math]V' = \frac{d \Phi_\Sigma(\vec{B})}{d t}= BL\frac{dx}{dt}=BLv[/math]

,
dove v è la velocità.

Dalla legge di Omh la corrente sarà

[math]I'=\frac{V-V'}{R}=\frac{V-BLv}{R}[/math]

che darà luogo alla forza

[math]F'=I'LB=\frac{VLB}{R}-\frac{B^2 L^2 v}{R}.[/math]

Siamo ora pronti ad inserire l'azione gravitazionale della massa nel nostro modello. La risultante delle forze agenti sulla sbarra è data da

[math]F_{TOT}=F_p-F_L[/math]

ovvero la differenza tra forza peso dell'oggetto e la forza di Lorentz calcolata sopra.
La legge di Newton sarà quindi

[math]m_S\dot{v}=mg -\frac{VLB}{R} + \frac{B^2 L^2 v}{R}[/math]

con

[math]m_S[/math]

massa della sbarra.
La condizione di stazionarietà implica che non ci sia accelerazione, ovvero

[math]\frac{B^2L^2 v}{R} + mg - \frac{VLB}{R}=0[/math]

che risolta per v da

[math] v = \frac{V}{BL}- \frac{mgR}{B^2L^2}=10.1 \frac{m}{s}-0.1 \frac{m}{s}=10,0 \frac{m}{s}.[/math]