Consiglio su come approcciare la tesi magistrale

[Gfackerman]

Buon giorno a tutti. Sto iniziando, tra le varie, a leggere i paper per la tesi.
Volevo chiedervi dei consigli. Spesso si tratta di decine di pagine di dimostrazioni e conti e risultati che visivamente non so interpretare.
Non posso dire di non aver fatto esami in questo settore, anzi.
Come posso approcciare la lettura?
1) È conveniente leggere i dettagli di ogni dimostrazione? Se vengono richiamati risultati che non conosco , guardo anche quelli nel dettaglio?
2) alla fine del percorso dovrei essere in grado di avere un overview della matematica tale da produrre dimostrazioni di quel calibro (sicuramente svariate volte superiore alle dimostrazioni che si studiano o si fanno nei corsi)?
3) in caso il superamento del gap tra il "dimostra che..." degli esercizi e la ricerca deve essere uno step che dipende più dalla creatività del singolo o si tratta di mettere bene insieme le cose (parlo per ottenere almeno qualche piccolo risultato) ?
Buon weekend a tutti, grazie. Scusatemi ma sono una persona molto insicura.

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Commento da non laureato in matematica che i paper li legge (e talvolta li scrive anche) per passione, dunque poco tecnico e da prendere con le pinze.

L'attitudine alla lettura di un paper e come ci si approccia a un lavoro lungo come una tesi magistrale giocano un ruolo significativo nella composizione del risultato finale... l'autostima/confidenza in matematica ti aiutano a non limitarti a uno studio passivo, ma facilitano il processo creativo e i collegamenti spontanei.
Pensa che in anni di studio ti sei preparato a questo nuovo step, forse il più importante, della tua carriera: quello in cui finalmente potrai produrre risultati tuoi sulle spalle di quelli già pubblicati da esperti che hanno trasposto in quei lavori la parte migliore del loro intelletto.

Ora, nella pratica, inizierei a leggere gli abstract e a scartare ciò che reputi poco utile alla creazione dello scheletro della biografia (references) della tesi, di ciò che resta guarda l'introduzione e reputi il lavoro qualitativamente buono perdi un po' di tempo a cercare non solo di capirne il senso, ma anche lo spirito, contestualizzandolo in base all'anno di pubblicazione, alla MSC/keywords, references con invocate nei teoremi, etc... dopo un po' dovrebbe iniziare a emergere una visione d'insieme della nicchia in cui si collocherebbe il tuo contributo e da lì si può iniziare poi a espandere e approfondire, andando più nel dettaglio di ogni singola piega delle dimostrazioni.
Ho però visto tesi di matematica molto più compilative, con molto poco materiale originale e tante digressioni, citazioni di risultati già pubblicati e commenti piuttosto banali... una sorta di ricerca a casa in scala 100 a 1. Se possibile, proverei a sfruttare questa occasione per spingerti un po' più in là e azzardare laddove emerga qualche spunto da seguire, che ti porti a risultati nuovi... che so, migliorare (anche di poco) un qualche bound che altrimenti richiameresti senza sforzo di elaborazione o una dimostrazione alternativa e più compatta di un teorema noto.
Chiedi al relatore nel caso, ma partendo dagli spunti che emergono leggendo i paper e collegandoli tra loro, sarà più divertente e sfidante: una sorta di palestra per il dottorato eventuale.

Quello che farei è di iniziare dalla fase prodromica di lettura/scrematura, poi iniziare l'approfondimento e in parallelo appuntare gli spunti creativi o gli spazi per migliorare qualche risultato che trovi, lavorando poi in parallelo all'introduzione/lavoro compilativo. Così, se anche non dovessero emergere elementi validi per produrre tu dei risultati del tutto originali, almeno hai creato la base su cui impostare una tesi più standard.
Just my two cents.

[megas_archon]

Non posso dire di non aver fatto esami in questo settore, anzi.
Come posso approcciare la lettura?

Vi sono infiniti modi di rispondere. Credo che l'unica costante sia "fallo nel modo che è efficace".

1) È conveniente leggere i dettagli di ogni dimostrazione? Se vengono richiamati risultati che non conosco , guardo anche quelli nel dettaglio?

Dipende da molti fattori. Di solito si acquisisce la sensibilità necessaria su cosa sia meglio fare provando a rielaborare ciò che si studia, e venendo cazziati o lodati da qualche membro del gruppo dei pari di cui si vuole far parte. Quel giudizio setta l'asticella di cosa sia "buona scrittura" e "livello adeguato di dettaglio nella comprensione" (sto collassando il processo di apprendimento e quello di produzione propria volontariamente, cioè mi è chiaro che tu hai chiesto un'altra cosa ma io sto rispondendo invece a questa domanda). Concetti di rigore e profondità adeguata che siano trasversali alle sotto-comunità matematiche, semplicemente, sono impossibili da dare: l'idea di rigore di una dimostrazione di teoria dei nodi è diversa dall'idea di rigore in una dimostrazione di algebra commutativa, e a sua volta diversa dal rigore in teoria della dimostrazione.

2) alla fine del percorso dovrei essere in grado di avere un overview della matematica tale da produrre dimostrazioni di quel calibro (sicuramente svariate volte superiore alle dimostrazioni che si studiano o si fanno nei corsi)?

Alla fine di una tesi magistrale, l'aspettativa che si ha verso l@ studente è che ess@ sia in grado di riassumere un vasto corpo di letteratura nei suoi elementi più importanti, abbia un idea anche vaga, ma relativamente precisa, di qual è lo stato dell'arte (chi ha dimostrato cosa, perché, e fino a che punto, cioè cosa resta da fare), e sappia ricondurre ciascuno dei risultati portanti della disciplina perlomeno all'idea dietro la dimostrazione. Si insiste affinché l@ studente venga in contatto con i dettagli più minuti delle dimostrazioni in parte per renderl@ confortevole con le tecniche di dimostrazione più comuni, in parte per fare esperienza, e in parte per collaborare a rendere quanto più capillare possibile la padronanza dei concetti di base. Di nuovo, però, cosa sia questo processo in geodiff è totalmente diverso dallo stesso processo in CT, in teoria dei modelli, in analisi funzionale...

3) in caso il superamento del gap tra il "dimostra che..." degli esercizi e la ricerca deve essere uno step che dipende più dalla creatività del singolo o si tratta di mettere bene insieme le cose (parlo per ottenere almeno qualche piccolo risultato) ?

E' veramente difficile interpretare cosa tu voglia sapere qui... Probabilmente la risposta più onesta è "dipende". Un falso mito di molti studenti giovani è che la matematica sia stata essenzialmente già fatta tutta, e il nostro scopo oggi è glossare i maestri o dimostrare La Congettura della Gru Accovacciata alla Cascata del Monte Olimpo diventando, così facendo, immortali. Se sei familiare col concetto di "grunt work", ecco, la matematica è piena di grunt work che non ha fatto nessuno, che va fatto, e che spesso è strumentale a qualche Grande Idea o qualche programma di respiro amplissimo, ma di cui spesso e volentieri i manovali non vedranno la fine. Per fare i conti servili non è necessario avere grande creatività. E' sufficiente capire perché quei risultati ancillari servono, eseguirli, e morta lì.
Avere una "visione", cioè un'idea per creare una teoria dalle basi, e usarla per fare qualcosa, invece richiede uno sforzo creativo (in aggiunta a un virtuosismo tecnico) che pochi hanno.