Fibonacci
Siano F di zero,F di uno, F di due...... i numeri di Fibonacci. Dimostrare che per ogni n> o uguale a 0 (F di n, F di n+1) = 1
Sapete come possa dimostrarla per induzione? In altri modi ci sono riuscito, ma per induzione no...
Grazie mille in anticipo
Sapete come possa dimostrarla per induzione? In altri modi ci sono riuscito, ma per induzione no...
Grazie mille in anticipo

Risposte
allora prima di dim quello, devo dimimostrare che ogni due "posti" dispari c'è un "posto" pari...
1,1,2,3,5,8,...
$a_1=1
$a_2=1
$a_3=2
...
1.verifico per $a_1,a_2$(1+1) =2
2.pongo vero per ogni n, quindi per $a_n$
3.verifico per $a_(n+1)$
$a_(n+1)+a_(n)=a_(n+2)$
sappiamo che numero pari si può scrivere cm 2k
mentre un numero dispari come 2k+1
quindi sle combinazioni di valori che possono assumere a(n) e a(n+1) sono tre
$a_n=2k
$a_(n+1)=2k
però questo non possiamo accettarlo, in quanto se fossero due pari, tutta la serie dovrebbe essere composta da numeri pari, ma il proimo termine è dispari e quindi non possiamo accettarla.
o
$a_n=2k+1
$a_(n+1)=2k+1
$a_(n+2)=a_n+a_(n+1)=2k+1+2k+1=4k+2$ che è un numero pari
o
$a_n=2k
$a_(n+1)=2k+1
$a_(n+2)=a_n+a_(n+1)=2k+2k+1=4k+1$ che è un numero dispari
quindi questa prima parte è dimostrata.
PASSIAMO AL QUESITO
1.verifico per $a_1,a_2$(1+1) MCD=1
2.pongo vero per n
3.verifico per $a_(n+1)$
quindi $(a_(n+1),a_(n+2))=(a_(n-1)+a_n,a_n+a_(n+1))$
quindi come dimostrato prima possiamo scrivere, posto che a_n è dispari
$(2k+1+2k+1,2k+1+2k)=(4k+2,4k+1)$ l'MCD tra 4k+2 e 4k+1 è soltanto 1, l'ipotesi è dimostarta. giusto?
1,1,2,3,5,8,...
$a_1=1
$a_2=1
$a_3=2
...
1.verifico per $a_1,a_2$(1+1) =2
2.pongo vero per ogni n, quindi per $a_n$
3.verifico per $a_(n+1)$
$a_(n+1)+a_(n)=a_(n+2)$
sappiamo che numero pari si può scrivere cm 2k
mentre un numero dispari come 2k+1
quindi sle combinazioni di valori che possono assumere a(n) e a(n+1) sono tre
$a_n=2k
$a_(n+1)=2k
però questo non possiamo accettarlo, in quanto se fossero due pari, tutta la serie dovrebbe essere composta da numeri pari, ma il proimo termine è dispari e quindi non possiamo accettarla.
o
$a_n=2k+1
$a_(n+1)=2k+1
$a_(n+2)=a_n+a_(n+1)=2k+1+2k+1=4k+2$ che è un numero pari
o
$a_n=2k
$a_(n+1)=2k+1
$a_(n+2)=a_n+a_(n+1)=2k+2k+1=4k+1$ che è un numero dispari
quindi questa prima parte è dimostrata.
PASSIAMO AL QUESITO
1.verifico per $a_1,a_2$(1+1) MCD=1
2.pongo vero per n
3.verifico per $a_(n+1)$
quindi $(a_(n+1),a_(n+2))=(a_(n-1)+a_n,a_n+a_(n+1))$
quindi come dimostrato prima possiamo scrivere, posto che a_n è dispari
$(2k+1+2k+1,2k+1+2k)=(4k+2,4k+1)$ l'MCD tra 4k+2 e 4k+1 è soltanto 1, l'ipotesi è dimostarta. giusto?
"Salamandra":
Scusate, temo di non aver capito bene: $0$ sarebbe il MCD di due numeri? E l'uno che fine ha fatto?
No, ho sbagliato il quoting, lo zero non c'entra.

L'esercizio è
"Introduction to Analytic Number Theory - T. Apostol":
The Fibonacci sequence ` 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... ` is defined by the recursion formula ` a_{n+1} = a_n + a_{n-1} `, with ` a_1 = a_2 = 1 `. Prove that ` (a_n, a_{n+1}) = 1 ` for each ` n `.
e la notazione ` (a_n, a_{n+1}) ` indica appunto il MCD. Hark fa partire la sequenza con `a_0` e quindi la relazione va dimostrata ` \forall n \ge 0 `
"0 (F di n, F di n+1) = 1". 0 e' il simbolo usato per la funzione.
Scusate, temo di non aver capito bene: $0$ sarebbe il MCD di due numeri? E l'uno che fine ha fatto?
grazie mille

"leev":
cosa significa quel 0 (F di n, F di n+1) ?
Massimo Comun Divisore. Se non ricordo male è un esercizio tratto dal libro "Introduction to Analytic Number Theory" di T. Apostol.
cosa significa quel 0 (F di n, F di n+1) ?
uppete