Cambiamento di coordinate

[Fagna1]

avrei un problema con il passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari..

$intint_D((x)/(sqrt(x^2+y^2))) D={4|y|}

a passare alle coordinate polari l'integrale diventa

$(int_{2}^{3}rhodrho)(int_{(-pi/4)}^{(pi/4)}sinthetad theta)

mi potreste spiegare come passare alle coordinare polari??

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Operi la sostituzione

$\rho \cos \theta = x$
$\rho \sin \theta = y$

e nel frattempo calcoli il modulo del determinante della matrice Jacobiana:

$|det ((\cos \theta,\sin \theta),(-\rho \sin \theta,\rho \cos \theta))| = \rho$

Poi prendi la tua regione di piano, che immagino sia

$D=\{4|y|\}$

(e non x>|x|, che ridurrebbe D al vuoto!), la riscrivi con la sostituzione di cui sopra ottenendo

$D=\{2 < \rho < 3,-\pi/4 < \theta < \pi/4\}$

E l'integrale diventa, sostituendo x e y con chi di dovere e moltiplicando per il calcolato determinante,

$\int_2^3 \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \rho \cos \theta d \rho d \theta = \int_2^3 \rho d \rho \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos \theta d \theta = [\rho^2/2]_2^3 \cdot [\sin \theta]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 5/2 \sqrt{2}$

EDIT: per arrivare a $-\pi/4<\theta<\pi/4$ basta che disegni la regione di piano determinata da x>|y| e la cosa diviene evidente.

[Fagna1]

ancora una cosa.. di preciso come faccio ad arrivare ad avere $-pi/4$e$ pi/4 $?
e avevo sbagliato a scrivere... era x>|y|...

[_Tipper]

$x = \rho \cos(\theta)$

$y = \rho \sin(\theta)$

con $\rho \in (0, +\infty)$, $\theta \in [0, 2 \pi)$.

Dalla condizione $4 < x^2 + y^2 < 9$ si ricava $\rho \in (2, 3)$, invece da $x > |x|$ si ottiene

$\rho \cos(\theta) > |rho| |\cos(\theta)|$

ovvero

$\cos(\theta) > |\cos(\theta)|$

Risolvi la disequazione, tenendo conto della limitazione precedente su $\theta$, e poi imposti l'integrale, considerando che $dxdy = \rho d \rho d \theta$.