Aiutino Algebra
Ragazzi chiedo per favore un aiutino:
Ho dei dubbi su questa cosa: ho questa matrice e devo calcolare il polinomio caratteristico, le radici con rispetive molteplicità algebriche:
1 2 4
0 h 10
0 1 5
Vi rigingrazio fin dal principio..
Ho dei dubbi su questa cosa: ho questa matrice e devo calcolare il polinomio caratteristico, le radici con rispetive molteplicità algebriche:
1 2 4
0 h 10
0 1 5
Vi rigingrazio fin dal principio..
Risposte
Ma poi sei andato dal prof?
Si infatti credo sia meglio se gliene parli (al prof)..
(comunque in effetti potrei avere sbagliato io, non toccavo algebra da quasi 2 anni :p )
(comunque in effetti potrei avere sbagliato io, non toccavo algebra da quasi 2 anni :p )
Ti ringrazio davvero tanto per l'aiuto.. Secondo me il prof ha sbagliato qualcosa nell'assegnazione dell'esercizio perche i risultati sono troppo strani e incasinati... Grazie ancora!!
Vediamo un po cosa riesco a ricordare di algebra...
Premesso che il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A è essenzialmente |A - λI| dove | | = determinante, I=la matrice identica e λ è essenzialmente la nostra incognita, tutto stà nel trovare il determinante di
1-λ 2 4
0 h-λ 10
0 1 5-λ
Adesso la scocciatura è quell'h.
Mi sembra difficile che un docente possa assegnare la ricerca del p.c. di una matrice come questa, per il semplice fatto che le radici vengono espressioni 'brutte', ovvero ci sono termini non lineari in h... e la stranezza dei risultati mi induce anche a pensare di avere sbagliato qualcosa, però li ho fatti due volte!
Allora det(quella cosa lì sopra) = (1-λ)((h-λ)(5-λ) - 10) = 'risolviamo le moltiplicazioni...
= (1-λ)(λ^2 - (5+h)λ + 5(h-2)) = ' troviamo le due radici λ1 e λ2 e usiamo la formula *
= (1-λ)(λ -((5+h+(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2))(λ -((5+h-(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2))
Le tre parti sottolineate sono le tre radici, esistono sicuramente perché h^2 - 10h + 65>=0 perogni h € R
La parentesi ()^(1/2) indica la radice quadrata (ovviamente)
Adesso ti resta "solo", e te lo fai tu, da verificare quando la "seconda" e la "terza" radice (in ordine di scrittura) sono uguali alla prima (cioè 1), premesso che tra loro non possono essere mai uguali, ovvero ti trovi quegli h per cui
1) --> ((5+h+(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2) = 1
2) --> ((5+h-(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2) = 1
Per tali valori di h, se esistono (non è detto), il polinomio avrà una radice con molteplicità algebrica m doppia e tale radice sarà un numero ben preciso (perché gli vai a sostituire l'h che ti verifica l'equazione)
per tutti gli altri h avrai 3 radici distinte:
λ1 = 1
λ2 = ((5+h+(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2)
λ3 = ((5+h-(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2)
* ogni polinomio di secondo grado tipo x^2 + ax + b, dette x1 e x2 le sue radici è scomponibile in (x-x1)(x-x2).
Spero di non essere stato eccessivamente astruso, però data la stranezza dei risultati ottenuti ti consiglio di consultare un docente ;)
Ciao :)
Premesso che il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A è essenzialmente |A - λI| dove | | = determinante, I=la matrice identica e λ è essenzialmente la nostra incognita, tutto stà nel trovare il determinante di
1-λ 2 4
0 h-λ 10
0 1 5-λ
Adesso la scocciatura è quell'h.
Mi sembra difficile che un docente possa assegnare la ricerca del p.c. di una matrice come questa, per il semplice fatto che le radici vengono espressioni 'brutte', ovvero ci sono termini non lineari in h... e la stranezza dei risultati mi induce anche a pensare di avere sbagliato qualcosa, però li ho fatti due volte!
Allora det(quella cosa lì sopra) = (1-λ)((h-λ)(5-λ) - 10) = 'risolviamo le moltiplicazioni...
= (1-λ)(λ^2 - (5+h)λ + 5(h-2)) = ' troviamo le due radici λ1 e λ2 e usiamo la formula *
= (1-λ)(λ -((5+h+(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2))(λ -((5+h-(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2))
Le tre parti sottolineate sono le tre radici, esistono sicuramente perché h^2 - 10h + 65>=0 perogni h € R
La parentesi ()^(1/2) indica la radice quadrata (ovviamente)
Adesso ti resta "solo", e te lo fai tu, da verificare quando la "seconda" e la "terza" radice (in ordine di scrittura) sono uguali alla prima (cioè 1), premesso che tra loro non possono essere mai uguali, ovvero ti trovi quegli h per cui
1) --> ((5+h+(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2) = 1
2) --> ((5+h-(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2) = 1
Per tali valori di h, se esistono (non è detto), il polinomio avrà una radice con molteplicità algebrica m doppia e tale radice sarà un numero ben preciso (perché gli vai a sostituire l'h che ti verifica l'equazione)
per tutti gli altri h avrai 3 radici distinte:
λ1 = 1
λ2 = ((5+h+(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2)
λ3 = ((5+h-(h^2 - 10h + 65)^(1/2))/2)
* ogni polinomio di secondo grado tipo x^2 + ax + b, dette x1 e x2 le sue radici è scomponibile in (x-x1)(x-x2).
Spero di non essere stato eccessivamente astruso, però data la stranezza dei risultati ottenuti ti consiglio di consultare un docente ;)
Ciao :)
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