$zeta(n)$
sappiamo che $zeta(2)=pi^2/6$, $zeta(4)=pi^4/90$, $zeta(6)=pi^6/945$.
cioè $zeta(2n)=pi^(2n)/(k(2n))$. Si può trovare $k(2n)$ in funzione di 2n?
mentre per $zeta(2n+1)$ non possiamo dire niente, nemmeno se questo numero è irrazionale.
è così o mi sbaglio? se ne conosce il motivo?
ho tracciato il grafico 2D di $f(x)=zeta(x)$ con derive, mi sembra simile a un'iperbole: si conosce un'approssimazione di f(x) usando funzioni elementari?
cioè $zeta(2n)=pi^(2n)/(k(2n))$. Si può trovare $k(2n)$ in funzione di 2n?
mentre per $zeta(2n+1)$ non possiamo dire niente, nemmeno se questo numero è irrazionale.
è così o mi sbaglio? se ne conosce il motivo?
ho tracciato il grafico 2D di $f(x)=zeta(x)$ con derive, mi sembra simile a un'iperbole: si conosce un'approssimazione di f(x) usando funzioni elementari?
Risposte
"GuillaumedeL'Hopital":
ok, non vorrei scrivere cavolate su un argomento tanto importante per la matematica, ma per stimare $zeta(x)$ con una buona precisione possiamo servirci della conoscenza esatta dei punti $zeta(2n)$ ed utilizzarli per un'approssimazione ai minimi quadrati, per esempio passante fra i punti $zeta(a-6),zeta(a-4),zeta(a-2),zeta(a),zeta(a+2),zeta(a+4),zeta(a+6)$ con $a<=x<=a+2$, più punti si prendono e più l'approssimazione è precisa. ammesso che ciò serva a qualcosa, quest'approssimazione per polinomi è diversa da quella banale, sicuramente è un risultato noto, cmq mi sembrava interessante mostrarvelo.
...è evidente che non conosci le conseguenze della disuguaglianza di Bernstein né la teoria dei polinomi interpolatori di Lagrange. Se posso permettermi, ti consiglio pertanto di leggiucchiare qualcosina a proposito del teorema di Stone-Weierstrass. Verosimilmente potrebbe aiutarti nei tuoi scopi.
ok, non vorrei scrivere cavolate su un argomento tanto importante per la matematica, ma per stimare $zeta(x)$ con una buona precisione possiamo servirci della conoscenza esatta dei punti $zeta(2n)$ ed utilizzarli per un'approssimazione ai minimi quadrati, per esempio passante fra i punti $zeta(a-6),zeta(a-4),zeta(a-2),zeta(a),zeta(a+2),zeta(a+4),zeta(a+6)$ con $a<=x<=a+2$, più punti si prendono e più l'approssimazione è precisa. ammesso che ciò serva a qualcosa, quest'approssimazione per polinomi è diversa da quella banale, sicuramente è un risultato noto, cmq mi sembrava interessante mostrarvelo.
"David Hilbert":
[...]Serve proprio tanta fantasia a pensarlo...
non mi ero accorto di questa correzione, bè a volte è proprio dalle cose più semplici che nascono i problemi più complicati ed interessanti...
ti ringrazio per la risposta Hilb, parlavo di un'approssimazione diversa da quella ovvia basata sulla definizione di $zeta(*)$, cioè come uno sviluppo in serie di taylor o fourier in un punto preciso, una funzione tangente a quella in questione che ha derivata uguale fino all'n-esimo ordine, ma evidentemente non si può fare.
"GuillaumedeL'Hopital":
cioè $zeta(2n)=pi^(2n)/(k(2n))$. Si può trovare $k(2n)$ in funzione di 2n?
Sì. Per usare le tue stesse notazioni, vale $1/k_{2n} = \frac{2^{2n-1} |B_{2n}|}{(2n)!}$, dove $B_{2n}$ è il $2n$-esimo numero di Bernoulli.
"GuillaumedeL'Hopital":
mentre per $zeta(2n+1)$ non possiamo dire niente, nemmeno se questo numero è irrazionale.
è così o mi sbaglio?
Ti sbagli, almeno in un caso: la costante di Apery!
"GuillaumedeL'Hopital":
[...] se ne conosce il motivo?
...
"GuillaumedeL'Hopital":
[...] ho tracciato il grafico 2D di $f(x)=zeta(x)$ con derive, mi sembra simile a un'iperbole: si conosce un'approssimazione di f(x) usando funzioni elementari?
Un'iperbole, eh?! Serve proprio tanta fantasia a pensarlo... E poi è OVVIO che se ne conosce un'approssimazione - per polinomi, per di più! Sapessi che scoperta, d'altro canto...
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