Viaggio nel deserto...
Un fuoristrada deve raggiungere, partendo dalla località A e attraversando una zona desertica, una località B distante 4d/3 km da A, essendo d la distanza, in km, che il fuoristrada può coprire utilizzando un pieno di carburante.
Supponendo di diporre in A di un numero illimitato di pieni di carburante, si chiede risposta ai due seguenti interrogativi:
a)esiste la maniera per far arrivare il fuoristrada fino alla località B partendo da A?...
b) se sì, quanti pieni di carburante sono necessari?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 24/10/2002 10:23:37
Supponendo di diporre in A di un numero illimitato di pieni di carburante, si chiede risposta ai due seguenti interrogativi:
a)esiste la maniera per far arrivare il fuoristrada fino alla località B partendo da A?...
b) se sì, quanti pieni di carburante sono necessari?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 24/10/2002 10:23:37
Risposte
Ciao Lupo...
i tuoi quesiti sono interessanti...una sola richiesta: puoi aspettare un pò prima di dare la soluzione?
Altrimenti ogni volta che vengo al forum per rispondere la trovo già scritta...
Ad esempio io ho proposto un questito (pesata di 13 palluozzi), dando il tempo (anche un anno!) a chi vuole (e a chi può) di rispondere...
Heil by Apostata
i tuoi quesiti sono interessanti...una sola richiesta: puoi aspettare un pò prima di dare la soluzione?
Altrimenti ogni volta che vengo al forum per rispondere la trovo già scritta...
Ad esempio io ho proposto un questito (pesata di 13 palluozzi), dando il tempo (anche un anno!) a chi vuole (e a chi può) di rispondere...
Heil by Apostata
Diciamo subito che il fuoristrada può raggiungere B, partendo da A, con un numero finito di viaggi e di pieni di carburante qualunque sia la distanza che separa B da A.
Per rendercene conto, dopo aver visto la distanza massima che il fuoristrada può raggiungere percorrendo un viaggio [pari ovviamente a d] e percorrendo due viaggi [pari a d (1+1/3)], vediamo la distanza raggiungibile percorrendo tre viaggi.
Nel primo viaggio il fuoristrada,partito da A con il pieno di carburante, percorre in direzione di B un tratto di strada pari a d/5, lascia qui in un bidone i 3/5 del pieno di carburante, e quindi torna in A utilizzando il rimanente carburante, pari ad 1/5 del pieno.
Nel secondo viaggio il fuoristrada, partito da A ancora una volta con il pieno di carburante, raggiunge da prima la località ove aveva lasciato il bidone, consumando in ciò 1/5 del pieno. Lì giunto preleva dal bidone 1/5 di pieno, ritrovandosi con il serbatoio pieno e lasciando nel bidone 2/5 di pieno. Fatto questo percorre in direzione di B un tratto di strada pari a d/3, consumando 1/3 di pieno, e arrivato nella seconda località intermedia vi lascia in un bidone 1/3 di pieno e con il carburante rimanente fa ritorno nella prima località intermedia. Qui giunto preleva nuovamente dal serbatoio lì lasciato 1/5 di pieno, lasciandovi quindi 1/5 di pieno, e con esso fa ritorno in A.
Nel terzo viaggio il fuoristrada parte da A con il serbatioio pieno e raggiunge la prima sosta intermedia percorrendo un tratto di deserto pari a d/5. Lì arrivato preleva il carburante rimasto nel bidone, 1/5 di pieno, e riparte con il serbatoio pieno alla volta della seconda fermata intermedia, distante d/3. Una volta l' giunto, cosa che gli è costata 1/3 di pieno, preleva il carburante lasciato nel secondo bidone, pari anch'esso a 1/3 di pieno, e si ritrova nuovamente con il serbatio pieno. A questo punto è in grado di raggiungere una località distante altri d km dalla seconda fermata intermedia e quindi nel terzo viaggio il fuoristrada ha percorso un tragitto lungo d (1+1/3+1/5).
Schematizzando:
primo viaggio:
d/5
A--->S1
B<---
secondo viaggio:
d/5 + d/3
A--->S1----->S2
B<---S1<-----
terzo viaggio:
d/5 + d/3 + d
A--->S1----->S2--------------->B
Ricapitolando il fuoristrada può raggiungere, partendo da A, una località distante non più di:
L= d facendo 1 viaggio
L= d(1+1/3) facendo 2 viaggi
L= d(1+1/3+1/5)facendo 3 viaggi
In maniera non difficile si può estrapolare che la massima distanza percorribile dal fuoristrada partendo da A è non più di:
L= d [1+1/3+1/5+...1/(2n-1)] facendo n viaggi
Dal momento che la serie 1+1/3+1/5+...+1/(2n-1)+... è divergente si conclude facilmente l'asserto.
Se la distanza tra le località A e B è pari a 2d, allora il numero di viaggi e di pieni di carburante necessari al fuoristrada per raggiungere B è pari al minimo intero n per cui è verificata la disuguaglianza:
S(n) = 1+1/3+1/5+...+1/(2n-1) > 2
Si trova senza eccessiva difficoltà che in questo caso n=8, ossia sono necessari 8 viaggi e 8 pieni di carburante.
A questo punto ecco a voi un quesito un pochino più complicato: quanti viaggi e quanti pieni sono [all'incirca] necessari se la distanza tra A e B è pari a 10 d?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 25/10/2002 15:53:00
Modificato da - lupo grigio il 25/10/2002 16:36:37
Per rendercene conto, dopo aver visto la distanza massima che il fuoristrada può raggiungere percorrendo un viaggio [pari ovviamente a d] e percorrendo due viaggi [pari a d (1+1/3)], vediamo la distanza raggiungibile percorrendo tre viaggi.
Nel primo viaggio il fuoristrada,partito da A con il pieno di carburante, percorre in direzione di B un tratto di strada pari a d/5, lascia qui in un bidone i 3/5 del pieno di carburante, e quindi torna in A utilizzando il rimanente carburante, pari ad 1/5 del pieno.
Nel secondo viaggio il fuoristrada, partito da A ancora una volta con il pieno di carburante, raggiunge da prima la località ove aveva lasciato il bidone, consumando in ciò 1/5 del pieno. Lì giunto preleva dal bidone 1/5 di pieno, ritrovandosi con il serbatoio pieno e lasciando nel bidone 2/5 di pieno. Fatto questo percorre in direzione di B un tratto di strada pari a d/3, consumando 1/3 di pieno, e arrivato nella seconda località intermedia vi lascia in un bidone 1/3 di pieno e con il carburante rimanente fa ritorno nella prima località intermedia. Qui giunto preleva nuovamente dal serbatoio lì lasciato 1/5 di pieno, lasciandovi quindi 1/5 di pieno, e con esso fa ritorno in A.
Nel terzo viaggio il fuoristrada parte da A con il serbatioio pieno e raggiunge la prima sosta intermedia percorrendo un tratto di deserto pari a d/5. Lì arrivato preleva il carburante rimasto nel bidone, 1/5 di pieno, e riparte con il serbatoio pieno alla volta della seconda fermata intermedia, distante d/3. Una volta l' giunto, cosa che gli è costata 1/3 di pieno, preleva il carburante lasciato nel secondo bidone, pari anch'esso a 1/3 di pieno, e si ritrova nuovamente con il serbatio pieno. A questo punto è in grado di raggiungere una località distante altri d km dalla seconda fermata intermedia e quindi nel terzo viaggio il fuoristrada ha percorso un tragitto lungo d (1+1/3+1/5).
Schematizzando:
primo viaggio:
d/5
A--->S1
B<---
secondo viaggio:
d/5 + d/3
A--->S1----->S2
B<---S1<-----
terzo viaggio:
d/5 + d/3 + d
A--->S1----->S2--------------->B
Ricapitolando il fuoristrada può raggiungere, partendo da A, una località distante non più di:
L= d facendo 1 viaggio
L= d(1+1/3) facendo 2 viaggi
L= d(1+1/3+1/5)facendo 3 viaggi
In maniera non difficile si può estrapolare che la massima distanza percorribile dal fuoristrada partendo da A è non più di:
L= d [1+1/3+1/5+...1/(2n-1)] facendo n viaggi
Dal momento che la serie 1+1/3+1/5+...+1/(2n-1)+... è divergente si conclude facilmente l'asserto.
Se la distanza tra le località A e B è pari a 2d, allora il numero di viaggi e di pieni di carburante necessari al fuoristrada per raggiungere B è pari al minimo intero n per cui è verificata la disuguaglianza:
S(n) = 1+1/3+1/5+...+1/(2n-1) > 2
Si trova senza eccessiva difficoltà che in questo caso n=8, ossia sono necessari 8 viaggi e 8 pieni di carburante.
A questo punto ecco a voi un quesito un pochino più complicato: quanti viaggi e quanti pieni sono [all'incirca] necessari se la distanza tra A e B è pari a 10 d?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 25/10/2002 15:53:00
Modificato da - lupo grigio il 25/10/2002 16:36:37
L'anno scorso abbiamo dibattuto a lungo sulla soluzione di un gioco analogo che io ho proposto. Non siamo giunti alla conclusione e ho dovuto semplificare il gioco.
https://www.matematicamente.it/giochi/aerei.htm
Il gioco si complica enormemente se si pone il bersaglio a 2000, 3000 km.
Antonio Bernardo
https://www.matematicamente.it/giochi/aerei.htm
Il gioco si complica enormemente se si pone il bersaglio a 2000, 3000 km.
Antonio Bernardo
La risposta alle due domande da me poste all'inizio del 3d sono:
a)sì
b)2 viaggi e 2 pieni di carburante
Nel primo viaggio il fuoristrada, partito con il pieno di carburante, percorre un tratto di strada pari a d/3 partendo da A in direzione di B, lascia in un bidone che si è portato dietro 1/3 di pieno di carburante, e quindi col carbutrante che gli resta ritorna in A.
Nel secondo viaggio il fuoristrada, partito ancora con il pieno di carburante, ripercorre il tratto di strada pari a d/3, ritrova il bidone che ha lasciato nel primo viaggio, riempie di nuovo il serbatoio con il carburante contenuto in esso,pari a 1/3 di pieno e quindi esattamente uguale a quello consumato per arrivare fino a lì, e quindi raggiunge B percorrendo un tratto di strada pari a d. Nel secondo viaggio infatti il fuoristrada ha percorso in tutto
d(1+1/3)km =4d/3km, che è la distanza tra A e B.
primo viaggio:
d/3
A----->S
A<-----
secondo viaggio:
d/3 d
A----->S--------------->B
A questo punto pongo due nuovi quesiti, rendendo il problema un pochino più difficile:
a) è possibile che il fuoristrada riesca a raggiungere B partendo da A, se in A è disponibile una illimitata quantita di carburante, se il tratto di derto che separa B da A è lungo 2d, ossia due volte il percorso che il fuoristrada compie con un pieno di carburante?...
b) se sì, quanti viaggi e quanti pieni di carburante sono necessari?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
a)sì
b)2 viaggi e 2 pieni di carburante
Nel primo viaggio il fuoristrada, partito con il pieno di carburante, percorre un tratto di strada pari a d/3 partendo da A in direzione di B, lascia in un bidone che si è portato dietro 1/3 di pieno di carburante, e quindi col carbutrante che gli resta ritorna in A.
Nel secondo viaggio il fuoristrada, partito ancora con il pieno di carburante, ripercorre il tratto di strada pari a d/3, ritrova il bidone che ha lasciato nel primo viaggio, riempie di nuovo il serbatoio con il carburante contenuto in esso,pari a 1/3 di pieno e quindi esattamente uguale a quello consumato per arrivare fino a lì, e quindi raggiunge B percorrendo un tratto di strada pari a d. Nel secondo viaggio infatti il fuoristrada ha percorso in tutto
d(1+1/3)km =4d/3km, che è la distanza tra A e B.
primo viaggio:
d/3
A----->S
A<-----
secondo viaggio:
d/3 d
A----->S--------------->B
A questo punto pongo due nuovi quesiti, rendendo il problema un pochino più difficile:
a) è possibile che il fuoristrada riesca a raggiungere B partendo da A, se in A è disponibile una illimitata quantita di carburante, se il tratto di derto che separa B da A è lungo 2d, ossia due volte il percorso che il fuoristrada compie con un pieno di carburante?...
b) se sì, quanti viaggi e quanti pieni di carburante sono necessari?...
cordiali saluti a tutti!...
lupo grigio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo