Vediamo chi risolve il mio quesito

[marione111]

Non sapevo dove porre la domanda per cui la posto qua.

Ho quest'equazione: $ z= 6ab - a + b $, dove $a,b$ sono numeri interi positivi.

diciamo che scelgo arbitrariamente $a$ e $b$ in modo da trovare $z$. E' possibile trovare il più piccolo $z_1 > z$, con $a_1,b_1$ interi positivi? E se si, come (in pratica)?

Caso pratico

io scelgo $a=8, b=1$ quindi $z = 41$, c'è un modo di sapere qual è il più piccolo $z_1$ che risolve l'equazione, con $z_1 > 41$? Come dovrò scegliere, far variare $a$ e $b$? Oppure non è possibile?

[marione111]

In realtà avevo già risolto il problema per via algoritmica, e proprio per la consistenza delle operazioni, come scritto da dott.ing (che ringrazio come ringrazio Gi8 e superpippone), stavo cercando qualcosa che semplificasse il compito. Perché purtroppo la via algoritmica equivale ad andare per tentativi, calcolando tutte le alternative possibili, per prendere quelle che ci interessano. Compito banale, ma faticoso.

In realtà avevo chiesto come trovare due zeta consecutivi perché questa domanda mi avrebbe portato alla soluzione di un altro quesito da cui ero partito… e cioè:

data l’equazione postata all’inizio, come trovo gli zeta che NON risolvono l’equazione (partendo da un certo punto in poi)? Visto che l’unica strada che mi veniva in mente era quella “algoritmica”, che purtroppo è dispendiosa, mi sono detto… se riuscissi a trovare un modo di selezionare due soluzioni consecutive, i valori tra di esse sarebbero NON soluzioni. Ma a quanto pare avere una strada non algoritmica per le soluzioni equivarrebbe ad avere una strada non algoritmica per le NON soluzioni.

Mentre per trovare le NON soluzioni non vedo altro modo che testare ad uno ad uno i zeta (la via già trovata da me e che suggeriva anche dott.ing), forse (e dico forse), ci può essere un altro modo di trovare due soluzioni consecutive. Magari provando a generare tutte le possibili soluzioni,cioè provare a calcolare tutti i $z_1,z_2,z_3,...,z_n$ che risolvono l'equazione, forse procedendo così potrei risparmiare qualche operazione... come potrei complicare le cose.
forse si potrebbe fare qualcosa con le matrici ma ho conoscenze pari a zero.

Insomma, il nuovo quesito è: qual è il modo più efficiente di calcolare tutte le soluzioni comprese in un intervallo?

[dott.ing1]

Il problema può essere risolto semplicemente per via algoritmica. Semplicemente significa che le operazioni di calcolo e di controllo sono banali tuttavia potrebbero essere quantitativamente consistenti; questo rende preferibile l'esecuzione dell'algoritmo da parte di un calcolatore. L'eventuale codice non dovrebbe essere comunque molto impegnativo.

La funzione $f(a,b)=6ab-a+b$ è continua sui reali, perciò esistono infinite coppie $(a_1,b_1)$ tali che $f(a_1,b_1)=z_1>z$. A noi interessa valutare se tra queste coppie ne esiste (almeno) una di interi.

Chiamiamo $x$ la variabile ausiliaria che assume i valori interi, successivamente crescenti, maggiori di $z$ iniziale. Otteniamo: $x=6ab-a+b \rArr a=(x-b)/(6b-1)$. Nel nostro caso $x$ assume valori interi crescenti a partire da $42$.
Ci interessa valutare se per qualche valore di $b$ quel rapporto è intero; questo può essere fatto con un controllo sul resto della divisione. Esauriti i valori di $b$ significativi s'incrementa $x$ di una unità.

Osservando che:

"Gi8":
Per ogni $ (a,b) $ sicuramente esistono $ a_1, b_1 in NN $ tali che $ f(a,b)

e che $x-b=6b-1 \rArr b=(x+1)/7$, dobbiamo ciclare (nel peggiore dei casi) la variabile $x$ tra $z+1$ e $z+5$ e la variabile $b$ tra $1$ e $\lfloor (x+1)/7 \rfloor$.

Nel caso specifico osserviamo che il primo valore di $x$ che soddisfa i requisiti è $46$, ottenuto con le coppie $(9,1)$ e $(4,2)$. Il valore successivo è $48$, che si ottiene per $(1,7)$.

Quindi: $z=42$, $z_1=46$, $z_2=48$...

[Gi81]

Non credo che si possa rispondere (facilmente) alla tua domanda.
Però vale questo (per comodità indico $f(a,b)= 6ab-a+b$)
Per ogni $(a,b)$ sicuramente esistono $a_1, b_1 in NN$ tali che $f(a,b)
Infatti $f(n,1)=5n+1$

[superpippone]

Andando a tentativi ho trovato:
a = 9 e b = 1 ottengo 46
a = 4 e b = 2 ottengo 46
Di meno non ho trovato
però:
a = 1 e b = 6 ottengo 41
Non so se ti sono stato utile.....