Una semplice domanda
chi sa rispondermi a questa domanda?
Sia G un gruppo
sia H un sottogruppo finitamente generato non banale di G
Allora H contiene un sottogruppo massimale e normale K.
come si fa a dimostrare?
io avrei pensato di indicare con L l insieme dei sottogruppi normali e inclusi in H e dimostare in qualche modo che tale insieme è induttivo cioè ogni sua parte totalemnte ordinata è superiormente limitata in L .
Dopodicche applicando il lemma di Zorn ho che ogni insieme induttivo ha un elemnto massimale
E' giusto quello che ho scritto oppure devo apportare qualche modifica?
C'e' qualcuno che saprebbe dimostrarlo meglio?Passo dopo passo?
Grazie a tutti quelli che mi risponderanno !!!!
Sia G un gruppo
sia H un sottogruppo finitamente generato non banale di G
Allora H contiene un sottogruppo massimale e normale K.
come si fa a dimostrare?
io avrei pensato di indicare con L l insieme dei sottogruppi normali e inclusi in H e dimostare in qualche modo che tale insieme è induttivo cioè ogni sua parte totalemnte ordinata è superiormente limitata in L .
Dopodicche applicando il lemma di Zorn ho che ogni insieme induttivo ha un elemnto massimale
E' giusto quello che ho scritto oppure devo apportare qualche modifica?
C'e' qualcuno che saprebbe dimostrarlo meglio?Passo dopo passo?
Grazie a tutti quelli che mi risponderanno !!!!
Risposte
A) Osservazione. Se A è un insieme di sottogruppi normali di un gruppo G ed A è anche totalmente ordinato rispetto all’inclusione, allora la riunione UA (unione degli elementi di A) è un sottogruppo normale di G.
Dimostriamo che: 1) l’operazione * è interna ad UA, 2) UA contiene i simmetrici, 3) UA è anche normale rispetto a G.
1) Per ogni x, y in UA si ha che x * y è in UA
Se x e y sono in UA vuol dire che esistono due elementi di A, X e Y tali che x è in X e y è in Y. D’altra parte A è totalmente ordinato, perciò o X è incluso in Y oppure Y è incluso in X e conseguentemente x e y o sono entrambi in X oppure sono entrambi in Y, ma per ipotesi X e Y sono sottogruppi di G perciò in entrambi i casi o x * y è in X o x * y è in Y e quindi x * y è in UA.
2) Se x è in UA allora anche x’ è in UA
Se x è in UA allora x è presente in qualche X di A e perciò essendo X un gruppo x’ deve essere in X e quindi in UA.
3) UA è normale rispetto a G, cioè
Per ogni g in G, gUA = UAg
Se g è un elemento di G allora valgono le seguenti equivalenze
x è un elemento di g(UA) <->
esiste y in UA tale che x = g * y <->
esiste y ed esiste Y in A tali che (y è in Y e x = g * y) <->
esiste Y in A ed (esiste y in Y tale che x = g * y) <->
esiste Y in A ed (x è in gY) <->
(Y è per ipotesi normale perciò gY = Yg per ogni g in G perciò)
esiste Y in A ed (x è in Yg) <->
esiste Y in A ed (esiste z in Y tale che x = z * g) <->
esiste z ed esiste Y in A tali che (z è in Y e x = z * g) <->
esiste z in UA tale che x = z * g
x è un elemento di (UA)g.
B) Dimostriamo ora che l’insieme dei sottogruppi normali propri di H, che per ipotesi è un sottogruppo finitamente generato di G non banale, è dotato di un elemento massimale.
Sia
A = {B appartiene alle Parti(H) | B < H}
Con "<" indico in questo contesto la relazione “essere sottogruppo normale proprio di” (ovviamente H non appartiene ad A). Siccome H è non banale ha come sottogruppo normale proprio almeno quello formato solamente dall’elemento neutro. A quindi non è vuoto.
Dimostriamo che A è induttivo rispetto alla relazione di inclusione. Sia X un sottoinsieme non vuoto di A che sia totalmente ordinato. Se X è finito allora X è superiormente limitato dal suo massimo, se X non è finito allora X è limitato dalla riunione dei suoi elementi UX. Per le osservazioni precedentemente fatte, UX deve essere un sottogruppo normale di H, mostriamo che è anche proprio. Se per assurdo UX fosse uguale ad H allora i generatori di H, h1, ..., hn dovrebbero far parte di UX e quindi per alcuni Y1, ..., Yn (non necessariamente distinti) appartenenti ad X si avrebbe che, h1 appartiene a Y1, h2 appartiene a Y2, ..., hn appartiene a Yn. Siccome X è totalmente ordinato, qualsiasi siano gli Y1, ..., Yn saranno dotati di massimo Yi e perciò Yi conterrà tutti i generatori di H e conseguentemente anche H, ma questo va contro le ipotesi fatte su X perché X essendo un sottoinsieme di A doveva essere formato soltanto da sottogruppi normali propri di H. Come hai suggerito tu, usando il Lemma di Zorn possiamo concludere che A è dotato di un elemento massimale.
Ho preferito dividere i casi della dimostrazione in finito ed infinito perché così facendo rendo chiaro il fatto che l’ipotesi “finitamente generabile” viene usata nella dimostrazione soltanto nel caso in cui A non sia finito. Se l’insieme dei sottogruppi normali propri di un gruppo G è finito e non vuoto sicuramente G è dotato di un sottogruppo normale massimale.
Dimostriamo che: 1) l’operazione * è interna ad UA, 2) UA contiene i simmetrici, 3) UA è anche normale rispetto a G.
1) Per ogni x, y in UA si ha che x * y è in UA
Se x e y sono in UA vuol dire che esistono due elementi di A, X e Y tali che x è in X e y è in Y. D’altra parte A è totalmente ordinato, perciò o X è incluso in Y oppure Y è incluso in X e conseguentemente x e y o sono entrambi in X oppure sono entrambi in Y, ma per ipotesi X e Y sono sottogruppi di G perciò in entrambi i casi o x * y è in X o x * y è in Y e quindi x * y è in UA.
2) Se x è in UA allora anche x’ è in UA
Se x è in UA allora x è presente in qualche X di A e perciò essendo X un gruppo x’ deve essere in X e quindi in UA.
3) UA è normale rispetto a G, cioè
Per ogni g in G, gUA = UAg
Se g è un elemento di G allora valgono le seguenti equivalenze
x è un elemento di g(UA) <->
esiste y in UA tale che x = g * y <->
esiste y ed esiste Y in A tali che (y è in Y e x = g * y) <->
esiste Y in A ed (esiste y in Y tale che x = g * y) <->
esiste Y in A ed (x è in gY) <->
(Y è per ipotesi normale perciò gY = Yg per ogni g in G perciò)
esiste Y in A ed (x è in Yg) <->
esiste Y in A ed (esiste z in Y tale che x = z * g) <->
esiste z ed esiste Y in A tali che (z è in Y e x = z * g) <->
esiste z in UA tale che x = z * g
x è un elemento di (UA)g.
B) Dimostriamo ora che l’insieme dei sottogruppi normali propri di H, che per ipotesi è un sottogruppo finitamente generato di G non banale, è dotato di un elemento massimale.
Sia
A = {B appartiene alle Parti(H) | B < H}
Con "<" indico in questo contesto la relazione “essere sottogruppo normale proprio di” (ovviamente H non appartiene ad A). Siccome H è non banale ha come sottogruppo normale proprio almeno quello formato solamente dall’elemento neutro. A quindi non è vuoto.
Dimostriamo che A è induttivo rispetto alla relazione di inclusione. Sia X un sottoinsieme non vuoto di A che sia totalmente ordinato. Se X è finito allora X è superiormente limitato dal suo massimo, se X non è finito allora X è limitato dalla riunione dei suoi elementi UX. Per le osservazioni precedentemente fatte, UX deve essere un sottogruppo normale di H, mostriamo che è anche proprio. Se per assurdo UX fosse uguale ad H allora i generatori di H, h1, ..., hn dovrebbero far parte di UX e quindi per alcuni Y1, ..., Yn (non necessariamente distinti) appartenenti ad X si avrebbe che, h1 appartiene a Y1, h2 appartiene a Y2, ..., hn appartiene a Yn. Siccome X è totalmente ordinato, qualsiasi siano gli Y1, ..., Yn saranno dotati di massimo Yi e perciò Yi conterrà tutti i generatori di H e conseguentemente anche H, ma questo va contro le ipotesi fatte su X perché X essendo un sottoinsieme di A doveva essere formato soltanto da sottogruppi normali propri di H. Come hai suggerito tu, usando il Lemma di Zorn possiamo concludere che A è dotato di un elemento massimale.
Ho preferito dividere i casi della dimostrazione in finito ed infinito perché così facendo rendo chiaro il fatto che l’ipotesi “finitamente generabile” viene usata nella dimostrazione soltanto nel caso in cui A non sia finito. Se l’insieme dei sottogruppi normali propri di un gruppo G è finito e non vuoto sicuramente G è dotato di un sottogruppo normale massimale.
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