UNA CONGETTURA SUI NUMERI PRIMI
Una delle tante concetture sui numeri primi è questa:
Non esiste nessun algoritmo, che preveda le sole operazioni che elencherò più sotto, che consenta di risolvere i seguenti problemi sui numeri primi. Ecco i problemi:
*dato un numero non è possibile trovare il primo immediatamente superiore o inferiore;
*dati due numeri non è possibile conoscere il numero di primi esistenti fra di loro e, di conseguenza, quali sono tali primi;
*dato un numero stabilire se è o no primo.
Ecco invece le caratteristiche degli algoritmi usabili ma che, se è vera la concettura, non risolverebbero i problemi suddetti:
*le quattro operazioni aritmetiche più la elevazione di potenza con esponente razionale;
*logaritmi con base razionale;
Non possono essere adoperati algortmi, diversi da quelli menzionati, basati sui tentativi né algoritmi che non abbiano un ciclo operativo di lunghezza predefinita e indipendente dal valore dei primi da determinare o dal numero di essi esistenti in un intervallo di ricerca.
mario1
Non esiste nessun algoritmo, che preveda le sole operazioni che elencherò più sotto, che consenta di risolvere i seguenti problemi sui numeri primi. Ecco i problemi:
*dato un numero non è possibile trovare il primo immediatamente superiore o inferiore;
*dati due numeri non è possibile conoscere il numero di primi esistenti fra di loro e, di conseguenza, quali sono tali primi;
*dato un numero stabilire se è o no primo.
Ecco invece le caratteristiche degli algoritmi usabili ma che, se è vera la concettura, non risolverebbero i problemi suddetti:
*le quattro operazioni aritmetiche più la elevazione di potenza con esponente razionale;
*logaritmi con base razionale;
Non possono essere adoperati algortmi, diversi da quelli menzionati, basati sui tentativi né algoritmi che non abbiano un ciclo operativo di lunghezza predefinita e indipendente dal valore dei primi da determinare o dal numero di essi esistenti in un intervallo di ricerca.
mario1
Risposte
quote:
Originally posted by Luca77
Avere un algoritmo che ti permetta quello che hai scritto, per il mio modo di vedere le cose, non aiuterebbe molto per le congetture. La cosa veramente da capire e', secondo me, come sono distribuiti esattamente i numeri primi...
Comunque e' solo un parere, ma supportato da questo fatto: una formula come dici tu, in base al Teorema dei numeri primi, credo possa essere facilmente congetturata. Ciononostante, non ci sono idee oggi su come ad esempio dimostrare Goldbach.
Luca.
Come qualcuno, in risposta al mio intervento, ha giustamente ventilato, niente esclude che il fatto che possa o non possa esistere un algoritmo (di tipo, diciamo così, classico) compendiato in una formula del tipo F(x1,x2), sia "INDECIDIBILE" rende, secondo me, interessante il giochetto che ho proposto: fingere di accettare come dimostrata la formula F(x1;x2) (x1 e x2 sono due numeri qualsiasi entro cui esistono F(x1,x2) numeri primi) e cercare di dimostrare che anche gli altri casi, congetturati nel mio primo intervento in questo topic, sono altrettanto risolvibili (al contrario di te, io sono convinto che i casi sono tutti legati ad una stessa fune). Il giochetto offrirebbe un aspetto curiosamente interessante: poichè l'indecidibilità consiste nel dilemma se esiste "IN ASSOLUTO" una soluzione o non di un problema all'interno di un sistema coerente, allora se la soluzione F(x1,x2) non esistesse IN ASSOLUTO (il fatto che scriva in maiuscolo IN ASSOLUTO dice solo che il punto debole di tutto il discorso sia nel significato da dare a questo termine benchè l'assolutezza debba intendersi limitata dal sistema coerente entro cui il problema viene formulato) in tal caso il supporre che esista quali problemi comporterebbe per soluzione degli altri problemi che ritengo collegati?.
mario1
a proposito di congetture sui numeri primi.. ricordate la congettura di Ubermensch; eccone una estensione:
ogni numero pari n maggiore od uguale di 8 si scrive come somma di due primi che non dividono n e tali che uno dei due ammetta un compagno gemello.
ho verificato al computer questa congettura finora solo fino a 1000 ed è sempre verificata (purtroppo ho fatto un programma piuttosto lento e spero di migliorarlo a giorni!).
la cosa carina di questa congettura è che se fosse vera (difficile dimostrarlo!!!!) allora è vero anche che esistono infinite coppie di primi gemelli; infatti, per assurdo, siano M e M+2 i più grandi primi gemelli, si consideri (M+2)! esso è divisibile per tutti i primi da 2 a M+2, pertanto la sua scrittura come somma di due primi di cui uno gemello deve utilizzare un primo gemello maggiore strettamente di M+2: assurdo.
ciao, ubermensch
ogni numero pari n maggiore od uguale di 8 si scrive come somma di due primi che non dividono n e tali che uno dei due ammetta un compagno gemello.
ho verificato al computer questa congettura finora solo fino a 1000 ed è sempre verificata (purtroppo ho fatto un programma piuttosto lento e spero di migliorarlo a giorni!).
la cosa carina di questa congettura è che se fosse vera (difficile dimostrarlo!!!!) allora è vero anche che esistono infinite coppie di primi gemelli; infatti, per assurdo, siano M e M+2 i più grandi primi gemelli, si consideri (M+2)! esso è divisibile per tutti i primi da 2 a M+2, pertanto la sua scrittura come somma di due primi di cui uno gemello deve utilizzare un primo gemello maggiore strettamente di M+2: assurdo.
ciao, ubermensch
quote:
Originally posted by mariodic
La tua sintesi al mio intervento è corretta ma non fa fare alcun passo avanti nell'approfondimento della tematica. Io proporrei un, chiamiamolo così, gioco: immaginiamo confutata quella congettura che sembra la più semplice tra quelle me elencate nel primo intervento in questa sezione del forrum: "NON ESISTE ALCUN ALGORITMO CHE CI FACCIA CONOSCERE IL NUMER DI 'PRIMI' CONTENUTO TRA DUE NUMERI QUALSIASI", ammettiamo, cioè, di avere trovato una formula F(n1,n2) che ci fornisca il numero di primi esistente tra n1 ed n2, allora cosa accadrebbe delle altre congetture? Sarebbero tutte confutate o no?, si potrebbe ussare la formuna F(n1,n2) per dimostrare e/o confutare le altre?
Si potrebbe ussare la formuna F(n1,n2) per dimostrare e/o confutare le altre secondo me.
Confermo quello che ho scritto, parola per parola.
Luca.
Luca.
quote:
Originally posted by Luca77
Avere un algoritmo che ti permetta quello che hai scritto, per il mio modo di vedere le cose, non aiuterebbe molto per le congetture. La cosa veramente da capire e', secondo me, come sono distribuiti esattamente i numeri primi...
In qualità di tuo avvocato ti informo che non sei tenuto a rispondere.
quote:
Originally posted by Luca77
Comunque e' solo un parere
A nessun altro potrebbe passare per la testa che possa essere lo stato dei fatti.
quote:
Originally posted by Luca77
ma supportato da questo fatto: una formula come dici tu, in base al Teorema dei numeri primi, credo possa essere facilmente congetturata. Ciononostante, non ci sono idee oggi su come ad esempio dimostrare Goldbach.
L'apoteosi!
Avere un algoritmo che ti permetta quello che hai scritto, per il mio modo di vedere le cose, non aiuterebbe molto per le congetture. La cosa veramente da capire e', secondo me, come sono distribuiti esattamente i numeri primi...
Comunque e' solo un parere, ma supportato da questo fatto: una formula come dici tu, in base al Teorema dei numeri primi, credo possa essere facilmente congetturata. Ciononostante, non ci sono idee oggi su come ad esempio dimostrare Goldbach.
Luca.
Comunque e' solo un parere, ma supportato da questo fatto: una formula come dici tu, in base al Teorema dei numeri primi, credo possa essere facilmente congetturata. Ciononostante, non ci sono idee oggi su come ad esempio dimostrare Goldbach.
Luca.
quote:
Originally posted by Luca77
Tutto in realta' si puo' riassumere dicendo che non e' nota la distribuzione dei numeri primi in N. Purtroppo e' un problema molto difficile, ed e' antico quanto l'uomo; ha resistito a tutti i piu' grandi matematici: ma la Storia sta solo aspettando quella persona che riuscira' a determinare tale legge di distribuzione, per rendere immortale il suo nome.
Luca.
La tua sintesi al mio intervento è corretta ma non fa fare alcun passo avanti nell'approfondimento della tematica. Io proporrei un, chiamiamolo così, gioco: immaginiamo confutata quella congettura che sembra la più semplice tra quelle da me elencate nel primo intervento in questa sezione del forum: "NON ESISTE ALCUN ALGORITMO CHE CI FACCIA CONOSCERE IL NUMER DI 'PRIMI' CONTENUTO TRA DUE NUMERI QUALSIASI", ammettiamo, cioè, di avere trovato una formula F(n1,n2) che ci fornisca il numero di primi esistente tra n1 ed n2, allora cosa accadrebbe delle altre congetture? Sarebbero tutte confutate o no?, si potrebbe usare la formula F(n1,n2) per dimostrare e/o confutare le altre?
mario1
quote:Ti ringrazio per la correzione ortografica del mio intervento
Originally posted by leonardo
Una correzione grammaticale: la parola "concettura" non esiste in italiano, ma congettura si.
Ciao, Ermanno
mario1
Fiuuu.... Ho visto ora...
Grazie! ^_^
Paola
Grazie! ^_^
Paola
Si, sono andato nel link della pubblicazione.
Luca.
Luca.
No, 'spetta... Dice che non sembrano esserci errori... Sei andato anche nei link della pubblicazione? O_O
[Goldbach resta mio in ogni caso ^_-]
[Goldbach resta mio in ogni caso ^_-]
Sono salva!! [:D][:D][:D][:D][:D]
Paola
Paola
Ho visto ora il link... ma dice che un errore serio e' stato trovato nel lemma 8, che e' sbagliato.
Luca.
Luca.
La verità e' diversa dalla dimostrabilità: un'affermazione è sempre o vera o falsa, e su questo non ci piove, in quanto la logica del primo ordine con cui e' scritta la teoria assiomatica degli insiemi, e' coerente, ovvero esente da contraddizioni. Il punto e' che Godel ha dimostrato che:
1) Se una teoria assiomatica contenente la teoria dei numeri e' coerente, allora e' incompleta, ovvero esistono proposizioni "indecidibili", cioe' per le quali non esiste ne' una dimostrazione della loro verita', ne' una dimostrazione della loro falsita'.
2) La coerenza di una teoria assiomatica contenente la teoria dei numeri e' indecidibile.
A lungo i matematici hanno creduto che l'indecidibilita' fosse confinata solo in questioni di coerenza, fino a che un certo P.Cohen ha dimostrato che l'ipotesi del continuo e' indecidibile; ovvero e' indecidibile il fatto che esista o no un insieme che ha piu' elementi di N, ma meno di R.
Dimostrare che un'affermazione e' indecidibile e' molto difficile, ma a priori non vi e' motivo per cui anche quello che puo' sembrare un banale problema, sia in realta' indecidibile.
La congettura di Goldbach, come altre affermazioni, e' curiosa, poiche' se fosse indecidibile, allora sarebbe vera, come ho gia' spiegato. E' una cosa strana: sapremmo certamente che una affermazione e' vera, ma non ci sarebbe modo di provarla.
Luca.
1) Se una teoria assiomatica contenente la teoria dei numeri e' coerente, allora e' incompleta, ovvero esistono proposizioni "indecidibili", cioe' per le quali non esiste ne' una dimostrazione della loro verita', ne' una dimostrazione della loro falsita'.
2) La coerenza di una teoria assiomatica contenente la teoria dei numeri e' indecidibile.
A lungo i matematici hanno creduto che l'indecidibilita' fosse confinata solo in questioni di coerenza, fino a che un certo P.Cohen ha dimostrato che l'ipotesi del continuo e' indecidibile; ovvero e' indecidibile il fatto che esista o no un insieme che ha piu' elementi di N, ma meno di R.
Dimostrare che un'affermazione e' indecidibile e' molto difficile, ma a priori non vi e' motivo per cui anche quello che puo' sembrare un banale problema, sia in realta' indecidibile.
La congettura di Goldbach, come altre affermazioni, e' curiosa, poiche' se fosse indecidibile, allora sarebbe vera, come ho gia' spiegato. E' una cosa strana: sapremmo certamente che una affermazione e' vera, ma non ci sarebbe modo di provarla.
Luca.
Bella la congettura di Ubermensch! 
No no no Goldbach è miooo!! ^_^ Al massimo ti ocncedo un lavoro in società ^_- se prima aspetti che io mi laurei...
Luca, domanda sempre da parte di una che non è (ancora) esperta nel settore: il fatto che un'affermaizone vera non possa essere però dimostrata è conseguenza del Teorema di Incompletezza? Perchè avevo letto qualcosa del genere...
Riguardo ai primi gemelli invece guardate qui: https://www.matematicamente.it/numeri/numeri_gemelli.htm
C'è anche la dimostrazione... Peccato io non sia ancora in grado di capirla!!! ;( sigh
Paola
No no no Goldbach è miooo!! ^_^ Al massimo ti ocncedo un lavoro in società ^_- se prima aspetti che io mi laurei...
Luca, domanda sempre da parte di una che non è (ancora) esperta nel settore: il fatto che un'affermaizone vera non possa essere però dimostrata è conseguenza del Teorema di Incompletezza? Perchè avevo letto qualcosa del genere...
Riguardo ai primi gemelli invece guardate qui: https://www.matematicamente.it/numeri/numeri_gemelli.htm
C'è anche la dimostrazione... Peccato io non sia ancora in grado di capirla!!! ;( sigh
Paola
Per tutti gli appassionati alla congettura di Goldbach (ha tenuto occupato anche me l'intera estate tra il secondo ed il terzo anno universitari) volevo dare una notizia poco piacevole: gli attuali matematici piu' competenti del settore, anche se pero' non so su che basi, hanno forti ragioni di sospettare che la congettura di Goldbach, cosi' come molte altre "facili" congetture numeriche, sia indecidibile all'interno della nostra attuale teoria ZF 7+1, ovvero compreso l'assioma della scelta. Curiosamente, se la congettura di Goldbach fosse indecidibile, allora deve essere perforza vera, ma senza una sua dimostrazione. (infatti, se fosse falsa, esistertebbe un controesempio, che fornisce la dimostrazione della falsita', contro l'indecidibilita'). Questo e' una specie di scacco matto al nostro ragionamento: sappiamo che una cosa e' vera, ma non e' possibile fornirne una prova!
Buon lavoro a tutti, Luca.
Buon lavoro a tutti, Luca.
anche io avevo letto che era stata dimostrata.. bah! per quanto riguarda il teorema di Wilson.. è bellissimo!! ma vatti a calcolare (p-1)! per numeri di 7 milioni di cifre!!! per la congettura di goldbach ci sono già io..!!eheh buona fortuna per i primi gemelli! tra l'altro, ho osservato e verificato con un programma, fino a numeri abbastanza grandi, che potrebbe sussistere il seguente legame tra la congettura di goldbach e i primi gemelli:
ogni pari 2n, con n>=2, si può scrivere come somma di due primi di cui uno dei due ammette un primo gemello.
trovo che sia un legame curioso..."la congettura di ubermensch"...!
ciao, ubermensch
ogni pari 2n, con n>=2, si può scrivere come somma di due primi di cui uno dei due ammette un primo gemello.
trovo che sia un legame curioso..."la congettura di ubermensch"...!
ciao, ubermensch
Confermo. Non è stata dimostrata l'inifinità delle coppie di numeri gemelli. Spero che Paola la dimostri!
Ciao, Ermanno.
Ciao, Ermanno.
Che io sappia non e' stata dimostrata l'infinita' delle coppie di numeri gemelli... pero' puo' essere che mi sbagli.
Luca.
Luca.
Sì ho visto la dimostrazione di Euclide. Fantastica. Direi che nella Teoria dei Numeri il vero record è la semplicità... ^_^
Mi pare di aver letto sul sito di matematicamente che hanno dimostratol'inifinità dei gemelli... E' stato già verificato? [volevo dimostrarla io.. Oh beh mi acocntenterò di Goldbach... Ghghg Se non si parte con un po' di ambizione... ^_- scherzo]
Paola
Mi pare di aver letto sul sito di matematicamente che hanno dimostratol'inifinità dei gemelli... E' stato già verificato? [volevo dimostrarla io.. Oh beh mi acocntenterò di Goldbach... Ghghg Se non si parte con un po' di ambizione... ^_- scherzo]
Paola
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