Un quesito squisitamente 'matematico'...
Teorema: sia $f(x,y)= x*y$ e siano $x_k$ e $y_k$ due successioni di indice $k$. Indichiamo con…
$l_x= lim_(k->+oo) x_k$
$l_y= lim_(k->+oo) y_k$ (1)
… e supponiamo che entrambi esistano finiti. Allora è…
$lim_(k->+oo) f(x_k,y_k) =$
$= lim_(k->+oo) f(x_k,l_y)=$
$= lim_(k->+oo) f(l_x,y_k)=$
$= f(l_x,l_y)$ (2)
Domande…
- il ‘teorema’ sopra enunciato è vero?…
- se sì, chi è in grado di dimostrarlo?…
- se no, chi è in grado di fornire un controesempio?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$l_x= lim_(k->+oo) x_k$
$l_y= lim_(k->+oo) y_k$ (1)
… e supponiamo che entrambi esistano finiti. Allora è…
$lim_(k->+oo) f(x_k,y_k) =$
$= lim_(k->+oo) f(x_k,l_y)=$
$= lim_(k->+oo) f(l_x,y_k)=$
$= f(l_x,l_y)$ (2)
Domande…
- il ‘teorema’ sopra enunciato è vero?…
- se sì, chi è in grado di dimostrarlo?…
- se no, chi è in grado di fornire un controesempio?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
non ti saprei dire
nel senso che non mi viene in mente nessuna condizione su $f$ che permetta di fare quello che chiedi e che soddisfi i due requisiti seguenti:
- non implica direttamente la continuità di $f$ nel complesso delle variabili (ad esempio, richiedo che $f$ sia un polinomio...)
- non sia arzigogolata, ma realmente fruibile
non escludo che ce ne siano
in ogni caso, queste condizioni dovrebbero imporre una certa rigidità ad $f$, in modo da poterne dedurre il comportamento su un intorno di $(0,0)$ a partire da quello che fa in un intorno ("unidimensionale") di $0$ sui due assi coordinati
nel senso che non mi viene in mente nessuna condizione su $f$ che permetta di fare quello che chiedi e che soddisfi i due requisiti seguenti:
- non implica direttamente la continuità di $f$ nel complesso delle variabili (ad esempio, richiedo che $f$ sia un polinomio...)
- non sia arzigogolata, ma realmente fruibile
non escludo che ce ne siano
in ogni caso, queste condizioni dovrebbero imporre una certa rigidità ad $f$, in modo da poterne dedurre il comportamento su un intorno di $(0,0)$ a partire da quello che fa in un intorno ("unidimensionale") di $0$ sui due assi coordinati
mannaggia 
e avendo a disposizione altre informazioni (quali?), c'è qualche criterio (facilmente) utilizzabile?
@leev
ti conviene accendere un cero a chi ti pare opportuno...
se hai una funzione a valori reali di più variabili reali e di questa sai solo che è continua nelle singole variabili separatamente ci puoi fare veramente poco
per capire, prendiamo una funzione di due variabili e soffermiamoci su $(0,0)$ (tanto, fa lo stesso)
ora, se tu sai che $f$ è continua in $(0,0)$ nella variabile $x$, tu hai delle informazioni sul comportamento di $f$ sull'asse delle "$x$" e solo su quello
idem per la $y$
morale, fuori dagli assi la funzione può fare quello che vuole
quindi, la continuità uno se la scorda
ti conviene accendere un cero a chi ti pare opportuno...
se hai una funzione a valori reali di più variabili reali e di questa sai solo che è continua nelle singole variabili separatamente ci puoi fare veramente poco
per capire, prendiamo una funzione di due variabili e soffermiamoci su $(0,0)$ (tanto, fa lo stesso)
ora, se tu sai che $f$ è continua in $(0,0)$ nella variabile $x$, tu hai delle informazioni sul comportamento di $f$ sull'asse delle "$x$" e solo su quello
idem per la $y$
morale, fuori dagli assi la funzione può fare quello che vuole
quindi, la continuità uno se la scorda
"Fioravante Patrone":
La affermazione qui riportata è falsa (e resta falsa se ci metto un generico "$l$" al posto di $f(x_0,y_0)$). Assomiglia alla pretesa che una funzione continua separatamente nelle due variabili sia continua. Cosa che non vale.
Scusate l'intrusione, ma questo è un aspetto che mi turba da tempo:
se abbiamo un applicazione ($RR^m -> RR^n$ per esempio) che è continua per ogni variabile $x1,...,xm$ separatamente, come stabilire se è un applicazione continua??
thx
la pignoleria è l'arma vincente e perdente dei matematici...
abbi pazienza, non mi era chiaro nel tuo post precedente se l'ipotesi che $f$ fosse continua valesse anche per la prima domanda
per quanto detto nella prima riga preciso ancora:
"Sapendo che $lim_(k->+oo) x_k=x_0$ e che $lim_(k->+oo) y_k=y_0$ posso affermare che è $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)=lim_(k->+oo) f(x_0,y_k)$?"
la risposta è sì
i limiti in cui è coinvolta $f$ sono uguali e coincidono con $f(x_0,y_0)$ per via della caratterizzazione della continuità mediante successioni. La cosa essenziale che si usa è la continuità di $f$ in $(x_0,y_0)$. Non è necessario che $f$ sia continua in altri punti
ciao
abbi pazienza, non mi era chiaro nel tuo post precedente se l'ipotesi che $f$ fosse continua valesse anche per la prima domanda
per quanto detto nella prima riga preciso ancora:
"Sapendo che $lim_(k->+oo) x_k=x_0$ e che $lim_(k->+oo) y_k=y_0$ posso affermare che è $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)=lim_(k->+oo) f(x_0,y_k)$?"
la risposta è sì
i limiti in cui è coinvolta $f$ sono uguali e coincidono con $f(x_0,y_0)$ per via della caratterizzazione della continuità mediante successioni. La cosa essenziale che si usa è la continuità di $f$ in $(x_0,y_0)$. Non è necessario che $f$ sia continua in altri punti
ciao
caro Patrone
la mia prima domanda domanda era essenzialmente la seguente...
Sia $f(x,y)$ una funzione continua in $RR^2$. Sapendo che $lim_(k->+oo) x_k=x_0$ posso affermare che è $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)=lim_(k->+oo) f(x_0,y_k)$?... Alternativamente sapendo che $lim_(k->+oo) y_k=y_0$ posso affermare che è $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)=lim_(k->+oo) f(x_k,y_0)$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
la mia prima domanda domanda era essenzialmente la seguente...
Sia $f(x,y)$ una funzione continua in $RR^2$. Sapendo che $lim_(k->+oo) x_k=x_0$ posso affermare che è $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)=lim_(k->+oo) f(x_0,y_k)$?... Alternativamente sapendo che $lim_(k->+oo) y_k=y_0$ posso affermare che è $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)=lim_(k->+oo) f(x_k,y_0)$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Se ho ben inteso nel caso che due successioni $x_k$ e $y_k$ ammettano limiti finiti per $k->+oo$ sono vere due cose...
- se ho da calcolare il $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)$ mi è consentito calcolare i limiti separatamente per ogni successione
- questo vale per ogni funzione $f(x,y)$ continua
E' così?...
più o meno...
Rispondo prima alla seconda domanda. La risposta è sì. Se ho una funzione di due variabili che è continua in un punto $(x_0,y_0)$, la caratterizzazione della continuità mediante successioni mi garantisce che, se $(x_k,y_k) -> (x_0.y_0)$, allora $f(x_k,y_k) -> f(x_0.y_0)$.
Visto che per la successione $(x_0,y_k)$ si ha $(x_0,y_k) -> (x_0.y_0)$, posso dire di conseguenza che $f(x_0,y_k) -> f(x_0.y_0)$.
°°°°°°°°°°°°
La risposta diretta alla prima domanda è, invece, "no". Se intendevi quello che hai scritto, la risposta è che pretendi troppo. Io leggo così la tua domanda:
se $lim_(k->+oo) f(x_k,y_0) = f(x_0,y_0)$ e $lim_(k->+oo) f(x_0,y_k) = f(x_0,y_0)$, allora $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k) = f(x_0,y_0)$?
La affermazione qui riportata è falsa (e resta falsa se ci metto un generico "$l$" al posto di $f(x_0,y_0)$). Assomiglia alla pretesa che una funzione continua separatamente nelle due variabili sia continua. Cosa che non vale.
Ma vorrei aver conferma che ho inteso bene
caro Patrone
non so trovare le parole per ringraziarti per avermi tolto parecchi dubbi che mi rodevano...
Se ho ben inteso nel caso che due successioni $x_k$ e $y_k$ ammettano limiti finiti per $k->+oo$ sono vere due cose...
- se ho da calcolare il $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)$ mi è consentito calcolare i limiti separatamente per ogni successione
- questo vale per ogni funzione $f(x,y)$ continua
E' così?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
non so trovare le parole per ringraziarti per avermi tolto parecchi dubbi che mi rodevano...
Se ho ben inteso nel caso che due successioni $x_k$ e $y_k$ ammettano limiti finiti per $k->+oo$ sono vere due cose...
- se ho da calcolare il $lim_(k->+oo) f(x_k,y_k)$ mi è consentito calcolare i limiti separatamente per ogni successione
- questo vale per ogni funzione $f(x,y)$ continua
E' così?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Il teorema è vero.
Si può vedere così. La funzione $f(x,y) = xy$ è continua su $RR^2$ e quindi è continua per successioni.
Da qui:
$lim_(k->+oo) f(x_k,y_k) = f(l_x,l_y) $
Le altre due uguaglianze (ad esempio: $lim_(k->+oo) f(x_k,l_y) = f(l_x,l_y) $) si ottengono dalla osservazione che, essendo $f$ continua "nelle due variabili" allora è continua anche "in ciascuna delle due variabili separatamente" e quindi applicando sempre la caratterizzazione della continuità mediante successioni.
Volendo, al risultato ci si può anche arrivare direttamente dai teoremi sui limiti di successioni (questo è un approccio più diretto, che presuppone meno cose)
ciao
Si può vedere così. La funzione $f(x,y) = xy$ è continua su $RR^2$ e quindi è continua per successioni.
Da qui:
$lim_(k->+oo) f(x_k,y_k) = f(l_x,l_y) $
Le altre due uguaglianze (ad esempio: $lim_(k->+oo) f(x_k,l_y) = f(l_x,l_y) $) si ottengono dalla osservazione che, essendo $f$ continua "nelle due variabili" allora è continua anche "in ciascuna delle due variabili separatamente" e quindi applicando sempre la caratterizzazione della continuità mediante successioni.
Volendo, al risultato ci si può anche arrivare direttamente dai teoremi sui limiti di successioni (questo è un approccio più diretto, che presuppone meno cose)
ciao
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