Un problema 'storico' sempre attuale...

[Sk_Anonymous]

cari amici
voglio farvi partecipi di un annoso problema con la speranza che possiate contribuire ad indicare la strada per risolverlo. In questo giorni ho iniziato a studiare la fattibilità di un nuovo progetto per reti di telemetria elettrica basato su di un metodo di trasmissione innovativo, frutto di recenti studi: Orthogonal Frequency Division Multiplexing [OFDM]. Detto in breve tale sistema di trasmissione, in luogo dei metodi ‘classici’ utilizzanti singole frequenze portanti, fa uso di un insieme di frequenze sottoportanti ortogonali tra loro. Da alcuni anni tale metodo trasmissivo è impiegato con ottimi risultati in numerosi campi applicativi, i più noti dei quali sono l’Assimetric Digital Subscreiber Loop [ADSL, certamente ben noto a chi di voi lo ha in casa…] e la Tv Digitale Terrestre. Un problema critico connesso a questa tecnica di trasmissione è costituito dal valore di picco del segnale multitonale, con i relativi problemi da esso creati per l’adeguato dimensionamento degli dispositivi amplificatori. Per farla breve il problema, strettamente legato al progetto di cui devo stabilire la fattibilità, che propongo alla vostra attenzione è il seguente…

Dato una funzione di t del tipo…

x(t)= Sum [n=1,N] sin [n*t+phi(n)] [1]

… in cui le phi(n) sono costanti con phi(1)=0 e 0
Idee e contributi di ogni tipo saranno estremamente graditi!…

cordiali saluti

lupo grigio

[Sk_Anonymous]

cari amici
ad essere sincero avevo sperato all’inizio di ricevere da voi qualche input, non importa quale dal momento che l’idea ‘giusta’ spesso è mascherata dietro l’apparenza di una ‘stramberia’ senza senso. Così fino ad ora non è stato, ma non dispero per il futuro. Certo occorre dire da subito che una soluzione ‘esatta’ del problema utilizzando i criteri ‘classici’ di ricerca dei massimi e minimi di una funzione è veramente assai ardua e pertanto è necessario, con ogni probabilità almeno, un approccio ‘alternativo’. Oggi vi riassumo brevemente il punto in cui sono arrivato…

Cominciamo allora con alcune definizioni e simbologie. Un generico numero complesso [o funzione complessa] sarà da me scritto nella forma…

z= x + j y (1)

… ove x e y sono numeri reali e j è la cosiddetta ‘unità immaginaria’ , la quantità cioè tale che j*j=-1 [questa notazione è quella tradizionalmente usata dagli ingegneri…]. Dato un numero complesso z, definiamo con…

z*= x-j y (2)

… il ‘complesso coniugato’ . Nel seguito, per evitare ambiguità, il simbolo di prodotto sarà omesso. Inoltre, dato sempre un numero complesso z, indichiamo con …

|z|^2 = z z* (3)

… il ‘modulo quadrato’ e con…

|z| = sqrt (|z|^2) (4)

… il ‘modulo’. Anche in questo caso per evitare ambiguità il ‘modulo’ di z sarà sempre considerato ‘non negativo’ e nel caso si voglia considerare entrambe le radici [positiva e negativa] della (4) si indicherà la cosa con il simbolo ‘+/-‘. In base alle definizioni date possiamo scrivere z con la cosidetta ‘notazione esponenziale’, ossia…

z=|z| e^[phi(z)] (5)

… dove phi(z) è usualmente chiamata ‘argomento’. Per finire indichiamo con…

Re (z) = (z+z*)/2

Im (z)=(z-z*)/(2j) (6)

… ‘parte reale’ e ‘parte immaginaria’ di z…

Stabilito questo riprendiamo l’impostazione del problema, modificando in parte quella data all’inizio…

Supponiamo di avere una funzione complessa di t definita come…

m(t) = Sum [n=1, N] a(n) e^(jnt) (7)

in cui le a(n) = |a(n)| e^[j phi(n)] sono le componenti di un vettore di N termini complessi. Una volta definita m(t), automaticamente sarà definita la funzione [reale] s(t) come…

s(t) = Re [m(t)] = Sum [n=1,N] |a(n)| cos [nt+phi(n)] (8)

Supponiamo ora di avere le a(n) ‘unitarie’, ossia |a(n)|=1 per ogni n e quindi…

a(n)= e^[j phi(n)] (9)

Il problema in questo caso sarà quello di trovare un insieme di phi(n) in modo che il segnale…

s(t)= Sum [n=1,N] cos [nt+phi(n)] (10)

… abbia ‘valore di picco minimo’. Rispetto alla impostazione iniziale dunque si considera una serie di ‘coseni’ in luogo di una serie di seni e non si pongono, almeno all’inizio, vincoli speciali sulle phi(n)…

Ferme restando tutte le ipotesi fatte definiamo ora come ‘inviluppo’ di m(t) la funzione…

|m(t)|^2 = m(t) m*(t) =
Sum [n=1,N] a(n) e^jnt Sum [k=1,N] a*(k) e^-jkt (11)

Con un calcolo noioso ma non difficile si trova che…

|m(t)|^2 = N + 2 Re [Sum [k=1,N-1] Sum [n=1,N-k] a(n) a*(n+k) e^-jkt ]=
= N + 2 Re [Sum [k=1,N-1] s(k) e-jkt] (12)

… in cui l’insieme delle quantità …

s(k) = Sum [n=1, N-k] a(n) a*(n+k) (12)

… è chiamato funzione di autocorrelazione periodica della sequenza a (n). La relazione (12) è importantissima in quanto stabilisce che l’inviluppo di m(t) è dato da una serie di Fourier nella quale la componente a frequenza maggiore vale N-1 volte la fondamentale. La figura qui sotto riportata illustra il caso in cui N=3, con una scelta di fasi che per il momento non specifichiamo…



In a) è riportato il modulo dell’inviluppo di m(t) e in b) il segnale s(t), compreso come si vede tra +/- il modulo dell’inviluppo. Inoltre si nota che i picchi di s(t) [positivi o negativi…] coincidono ‘all’incirca’ con gli istanti in cui è Im [m(t)] =0. Sempre dalla (12) si vede che il ‘valor medio’ dell’inviluppo vale N [e quindi il valor medio del modulo vale sqrt(N) , sqrt(3) nell’esempio…]. Queste considerazioni già ci indicano una strada per ‘avvicinarci’ alla suzione del problema, ossia quella di ottenere un inviluppo che si discosti 'il meno possibile' dal suo valor medio. Sempre in attesa di qualche commento e suggerimento da parte vostra, per oggi mi fermo qui…

cordiali saluti

lupo grigio

[Sk_Anonymous]

yes... tutte unitarie...

Per quello che ne so io a tutt'oggi questo problema è stato affrontato [anche dallo scrivente...] unicamente con l'uso intensivo di simulazioni su computer e tutti i personaggi da me intervistati su questo specifico problema, comprese vere e proprie 'autorità' in materia, si sono limitati a dire: al riguardo non c'è niente di 'teorico'...

cordiali saluti

lupo grigio

[tony19]

le ampiezze delle N armoniche

quote:

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x(t)= Sum [n=1,N] sin [n*t+phi(n)] [1]
… in cui le phi(n) sono costanti con phi(1)=0 e 0[lupo grigio]

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sono tutte unitarie?

tony