Un paio d'osservazioni (quasi) senza senso
è un pò che sto lavorando al seguente problema, forse Carlo se lo ricorda...
sia $p$ un primo dispari e $s$ un intero positivo, voglio contare gli interi $1
Le osservazioni che vado a fare non sono per niente rigorose, ma forse, qualcuno con più conoscenze di me in teoria dei numeri e calcolo delle probabilità, saprà darne un giudizio.
Costruisco una tabella in cui sulle ascisse metto gli interi da $2$ a $s$ e sulle ordinate gli interi da $2$ a $p^s$. Agli incroci metto un puntino sse l'ascissa divide l'ordinata. Per ovvi motivi, il numero totale dei puntini messi è $\sum_{t=2}^s[(p^s)/t]$, dove [.] denota la parte intera inferiore. A questo punto, a meno dei primi compresi fra $2$ e $p^s$, che sono $\pi(p^s)$, che provengono dai $\pi(s)$ primi compresi fra $2$ e $s$, suppongo (prima cosa che non so se è vera) che il numero dei puntini si equidistribuisca in media sulle righe della tabella, e quindi in media i divisori di $p^h-1$ sono $M=1/(p^s-\pi(p^s))\sum_{t=2}^s([(p^s)/t]-\pi(s))$. Per cui la probabilità che $h$ sia uno di tali divisori eguaglia, osservando che $h$ non può essere un multiplo di $p$, $M/(s-[p/s])$. Per cui in media un intero $h$ divide $p^h-1$ ogni $M/(s-[p/s])$, ne segue che (seconda cosa che non so se è vera) $N_p(s)~(s-[p/s])/M$.
che ne pensate?
sia $p$ un primo dispari e $s$ un intero positivo, voglio contare gli interi $1
Le osservazioni che vado a fare non sono per niente rigorose, ma forse, qualcuno con più conoscenze di me in teoria dei numeri e calcolo delle probabilità, saprà darne un giudizio.
Costruisco una tabella in cui sulle ascisse metto gli interi da $2$ a $s$ e sulle ordinate gli interi da $2$ a $p^s$. Agli incroci metto un puntino sse l'ascissa divide l'ordinata. Per ovvi motivi, il numero totale dei puntini messi è $\sum_{t=2}^s[(p^s)/t]$, dove [.] denota la parte intera inferiore. A questo punto, a meno dei primi compresi fra $2$ e $p^s$, che sono $\pi(p^s)$, che provengono dai $\pi(s)$ primi compresi fra $2$ e $s$, suppongo (prima cosa che non so se è vera) che il numero dei puntini si equidistribuisca in media sulle righe della tabella, e quindi in media i divisori di $p^h-1$ sono $M=1/(p^s-\pi(p^s))\sum_{t=2}^s([(p^s)/t]-\pi(s))$. Per cui la probabilità che $h$ sia uno di tali divisori eguaglia, osservando che $h$ non può essere un multiplo di $p$, $M/(s-[p/s])$. Per cui in media un intero $h$ divide $p^h-1$ ogni $M/(s-[p/s])$, ne segue che (seconda cosa che non so se è vera) $N_p(s)~(s-[p/s])/M$.
che ne pensate?
Risposte
sempre perchè non ho voglia di fare i conti nei dettagli... facendoli ci si accorge che la stima va "più che $s$". E quindi indubbiamente troppo alta...
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