Un mio vecchio problema
E' un vecchio quesito che mi ero posto su questo forum nella sezione "Giochi logico-matematici e gara", ma direi che questa e' una "location" molto piu' appropriata. Il problema e': quanti giochi di carte si possono inventare?
Ovviamente la risposta e' infiniti, ma ponendo queste 2 restrizioni otteniamo un valore finito:
1. I giochi devono essere veramente diversi (scopa con i punteggi moltiplicati per $\pi$ NON e' un nuovo gioco) (in un senso da precisare)
2. Immaginiamo di fissare un numero massimo di mani (al limite anche il numero totale di mani giocabili in 10^6 anni, ma comunque un numero finito)
Prendiamo 40 carte e p giocatori.
Detto:
$r_p(x)$
Un generico gioco di carte con p giocatori.
Si tratta di una funzione che associa ad ogni possibile combinazione di carte poste: sul tavolo, in mano ad ogni giocatore, nello spazio delle carte giocate da ciascun giocatore (in cui eventualmente si tenga conto dell'ordine in cui sono giocate) p punteggi distribuiti fra i giocatori. (un simbolico vettore x)
Definiamo una funzione ausiliaria:
win$(x;s)$
La funzione win$(x;s)$ restituisce il numero del giocatore vincitore del gioco $s$ data la configurazione delle carte $x$.
Poniamo la limitazione che $s(x)$ e $t(x)$ sono diversi sse:
win$(x;s) \ne $win$(x;t)$ per almeno un $x$.
(In questo modo briscola coi punteggi raddoppiati non diventa un altro gioco.)
Infine chiamiamo $U_p$ l'insieme di tutti i giochi di carte diversi che si possono fare con p giocatori e 40 carte (mi appello qui' all'assioma della scelta per poter scegliere fra gli infiniti giochi di carte quelli diversi)
----------------------
Prima di dare la "soluzione" (o meglio il mio tentativo di soluzione) diamo un paio di definizioni comode:
E' chiaro che lo spazio delle configurazioni (carte giocate dal giocatore $l$ al turno $p$, nel mazzo, sul tavolo etc...) ha cardinalita' finita $g$.
Gioco senza vincitore:
Sia $r(x)$ un gioco di carte a $p$ giocatori e $x$ una configurazione di partita non concessa dalle regole. Per prolungare $r$ su tutto lo spazio delle configurazioni diciamo che $r(x)$ assegna il punteggio 1 al tavolo e punteggi nulli a tutti i giocatori per questa combinazione.
Gioci n-simile:
Due giochi in cui il vincitore e' diverso soltanto per n configurazioni di carte, ma e' lo stesso negli altri casi si dicono n-simili.
Prendiamo ora un generico gioco $r_p(x)$ a $p$ giocatori e sia $s$ una configurazione di carte. E' chiaro che si possono definire $p$ giochi 1-simili a questo nella configurazione $s$ assegnando la vittoria ai $p-1$ giocatori che non vincono con $r_p(s)$ o dichiarando la combinazione $s$ non regolare. (nel caso che $s$ sia gia' irregolare per $r$ si possono costruire p giochi 1-simili assegnando la vittoria ad un giocatore diverso per ciascun gioco). In totale abbiamo $g*p$ giochi 1-simili ad $r$.
A questo punto mi appello nuovamente all'assioma della scelta per sostenere che esiste un insieme $A_1$ con un rappresentate per ciascuna classe di giochi 1-simili. Sia $r(x) \in A_1$. Ora presa una coppia di configurazioni $s_1$ e $s_2$ possiamo assegnare in $p$ modi $s_1$ e in $p$ modi $s_2$ in modo che $r(x)$ e il gioco risultante siano 2-simili infatti abbiamo assegnato sia ad $s_1$ che ad $s_2$ un vincitore diverso da quello previsto per $r(x)$. Quindi abbiamo per ogni coppia tra le $((g),(2)) p^2$ giochi 2-simili a $r$.
Possiamo a questo punto scegliere un rappresentante per ciascuna coppia di giochi 2 simili e creare $A_2$ e ragionare analogamente a sopra.
Poi iteriamo
In pratica abbiamo che nell'insieme $A_n$ possiamo assegnare $((g),(n+1))$ configurazioni in $p^{n+1}$ modi per ottenere tutti i giochi {n+1}-simili a un dato gioco $r(x)$.
Ora abbiamo che U l'insieme di tutti i giochi e' t.c:
$U = { r(x) } uu uuu_{i=1}^(g) S_i(r(x))$
Dove $S_i(r(x))$ e' l'insieme di tutti i giochi i-simili a $r(x)$.
Quindi
$card U = 1 + \sum_{i=1}^(g) ((g),(i)) p^i = ( p + 1 )^g$
Cosa ne pensate?
PS: $uuu$ e' l'unione (per chi la visualizzasse come ? come me)
PS2: Ho fatto copia-incolla dal mio vecchio post adattando qua e la il tutto a MathML, comunque se ci fossero cose strane (ho controllato, ma non si sa mai) fatemelo sapere che potrebbero essere errori di "traduzione".
*** EDIT ***
Problemucci col MathML (perche' win diventa $win$?)
Ovviamente la risposta e' infiniti, ma ponendo queste 2 restrizioni otteniamo un valore finito:
1. I giochi devono essere veramente diversi (scopa con i punteggi moltiplicati per $\pi$ NON e' un nuovo gioco) (in un senso da precisare)
2. Immaginiamo di fissare un numero massimo di mani (al limite anche il numero totale di mani giocabili in 10^6 anni, ma comunque un numero finito)
Prendiamo 40 carte e p giocatori.
Detto:
$r_p(x)$
Un generico gioco di carte con p giocatori.
Si tratta di una funzione che associa ad ogni possibile combinazione di carte poste: sul tavolo, in mano ad ogni giocatore, nello spazio delle carte giocate da ciascun giocatore (in cui eventualmente si tenga conto dell'ordine in cui sono giocate) p punteggi distribuiti fra i giocatori. (un simbolico vettore x)
Definiamo una funzione ausiliaria:
win$(x;s)$
La funzione win$(x;s)$ restituisce il numero del giocatore vincitore del gioco $s$ data la configurazione delle carte $x$.
Poniamo la limitazione che $s(x)$ e $t(x)$ sono diversi sse:
win$(x;s) \ne $win$(x;t)$ per almeno un $x$.
(In questo modo briscola coi punteggi raddoppiati non diventa un altro gioco.)
Infine chiamiamo $U_p$ l'insieme di tutti i giochi di carte diversi che si possono fare con p giocatori e 40 carte (mi appello qui' all'assioma della scelta per poter scegliere fra gli infiniti giochi di carte quelli diversi)
----------------------
Prima di dare la "soluzione" (o meglio il mio tentativo di soluzione) diamo un paio di definizioni comode:
E' chiaro che lo spazio delle configurazioni (carte giocate dal giocatore $l$ al turno $p$, nel mazzo, sul tavolo etc...) ha cardinalita' finita $g$.
Gioco senza vincitore:
Sia $r(x)$ un gioco di carte a $p$ giocatori e $x$ una configurazione di partita non concessa dalle regole. Per prolungare $r$ su tutto lo spazio delle configurazioni diciamo che $r(x)$ assegna il punteggio 1 al tavolo e punteggi nulli a tutti i giocatori per questa combinazione.
Gioci n-simile:
Due giochi in cui il vincitore e' diverso soltanto per n configurazioni di carte, ma e' lo stesso negli altri casi si dicono n-simili.
Prendiamo ora un generico gioco $r_p(x)$ a $p$ giocatori e sia $s$ una configurazione di carte. E' chiaro che si possono definire $p$ giochi 1-simili a questo nella configurazione $s$ assegnando la vittoria ai $p-1$ giocatori che non vincono con $r_p(s)$ o dichiarando la combinazione $s$ non regolare. (nel caso che $s$ sia gia' irregolare per $r$ si possono costruire p giochi 1-simili assegnando la vittoria ad un giocatore diverso per ciascun gioco). In totale abbiamo $g*p$ giochi 1-simili ad $r$.
A questo punto mi appello nuovamente all'assioma della scelta per sostenere che esiste un insieme $A_1$ con un rappresentate per ciascuna classe di giochi 1-simili. Sia $r(x) \in A_1$. Ora presa una coppia di configurazioni $s_1$ e $s_2$ possiamo assegnare in $p$ modi $s_1$ e in $p$ modi $s_2$ in modo che $r(x)$ e il gioco risultante siano 2-simili infatti abbiamo assegnato sia ad $s_1$ che ad $s_2$ un vincitore diverso da quello previsto per $r(x)$. Quindi abbiamo per ogni coppia tra le $((g),(2)) p^2$ giochi 2-simili a $r$.
Possiamo a questo punto scegliere un rappresentante per ciascuna coppia di giochi 2 simili e creare $A_2$ e ragionare analogamente a sopra.
Poi iteriamo
In pratica abbiamo che nell'insieme $A_n$ possiamo assegnare $((g),(n+1))$ configurazioni in $p^{n+1}$ modi per ottenere tutti i giochi {n+1}-simili a un dato gioco $r(x)$.
Ora abbiamo che U l'insieme di tutti i giochi e' t.c:
$U = { r(x) } uu uuu_{i=1}^(g) S_i(r(x))$
Dove $S_i(r(x))$ e' l'insieme di tutti i giochi i-simili a $r(x)$.
Quindi
$card U = 1 + \sum_{i=1}^(g) ((g),(i)) p^i = ( p + 1 )^g$
Cosa ne pensate?
PS: $uuu$ e' l'unione (per chi la visualizzasse come ? come me)
PS2: Ho fatto copia-incolla dal mio vecchio post adattando qua e la il tutto a MathML, comunque se ci fossero cose strane (ho controllato, ma non si sa mai) fatemelo sapere che potrebbero essere errori di "traduzione".
*** EDIT ***
Problemucci col MathML (perche' win diventa $win$?)
Risposte
Non capisco un'acca di matematica ma mi permetto di dire che al massimo ogni smazzata casuale di 40 carte "E'" un gioco finito....una smazzata differente ha praticamente un numero incalcolabile di probabilità nella vita di un individuo giocare due volte la stessa mano è impossibile (forse è meglio dire altamente improbabile)....fare giocare la stessa mano agli stessi 4 giocatori, e, soprattutto che sarà giocata nello stesso modo della precedente....., Beh! Sfido chiunque a creare una formula che ne dimostri l'infinitamente remota possibilità.
secondo me è ovvio il contrario: che con un numero finito e stabilito di carte si possono inventare finiti giochi... basta esaurire le combinazioni... cmq nella tua formula quanti giochi si possono inventare con 40 carte?
Ok allora appena avro' un po' di tempo ne faccio la conversione in TeX e provo a postarla.
"david_e":
Mmmm non credo che sia degno!
Figurati,ci posto pure io in quel forum e scrivo un sacco di *******...Cmq apparte gli scherzi il problema è abbastanza interessante e vale la pena postarlo!
Mmmm non credo che sia degno!
Io non sono per nulla sicuro dell'esattezza di questa "dimostrazione"! Anche perche' di calcolo combinatorio non so quasi nulla....
Io non sono per nulla sicuro dell'esattezza di questa "dimostrazione"! Anche perche' di calcolo combinatorio non so quasi nulla....
Leggendo la tua dimotrazione nn ci ho capito una mazza, ma questo è irrilevante dato ke sn completamente ignorante nel calcolo combinatorio...Prova piuttosto a postarlo nel forum delle olimpiadi di matematica: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/index.php
PS: Io ovviamente voto per "non lo so"....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo