Ultrafiltri, dittatori e dei.
Salve a tutti! 
Volevo rendervi partecipi di questo articolo che ho trovato stamattina nel sito di Odifreddi, che mi è parso molto molto moltissimo interessante.
Volevo rendervi partecipi di questo articolo che ho trovato stamattina nel sito di Odifreddi, che mi è parso molto molto moltissimo interessante.
Risposte
"Martino":
Il vincitore di un'elezione è colui che accumula più punti, intendendo che il primo in una classifica prende $|C|$ punti, il secondo $|C|-1$ e così via.
E se non c'è un singolo candidato che ha accumulato più punti di tutti gli altri?
"fields":
Qual è la definizione matematica di sistema elettorale che hai in mente?
In linea di massima la intenderei così:
mettiamoci nel caso di Odifreddi (anche se sarebbe utile dare una definizione generale di sistema elettorale, ma per ora va bene questa): un sistema elettorale su un insieme finito $V$ di votanti è una legge $Sigma$ che associa ad ogni insieme finito $C$ di candidati l'insieme $(S_{|C|})^V$ di tutti gli insiemi di preferenze possibili ($S_{|C|}=Sym(C)$ è l'insieme delle "classifiche" e l'immagine di $v in V$ è la classifica che stila $v$ dei candidati). Un elemento di $Sigma(C)$ lo chiamerei elezione. Il vincitore di un'elezione è colui che accumula più punti, intendendo che il primo in una classifica prende $|C|$ punti, il secondo $|C|-1$ e così via.
Ora poiché un insieme decisivo è definito partendo da un $C$ di due elementi, mi chiedevo appunto se fornire tutto quello che ho detto è equivalente a fornirlo solo nel caso $|C|=2$, o meglio quali ipotesi bisogna aggiungere perché ciò sia vero.
Qual è la definizione matematica di sistema elettorale che hai in mente?
"fields":
[quote="Martino"]Non mi pare che le seguenti due asserzioni
- dato un qualsiasi insieme di votanti, o lui è decisivo oppure il suo complementare è decisivo;
- data una qualsiasi votazione a due candidati, uno dei due vince la votazione;
siano equivalenti.
Premetto che ho non ho mai letto interamente l'articolo di Odifreddi. Comunque, fondandomi esclusivamente su ciò che leggo nel tuo post e su assunzioni ovvie, mi sembra che le due affermazioni siano evidentemente equivalenti - proprio come dice Odifreddi - e dunque l'assioma d necessario. Qual è il problema?[/quote]
Sì, mi hai convinto. Pensavo - non so perché - che in qualche modo cambiando i candidati cambiasse la preferenza. In altre parole non avevo capito che si possono fissare a piacere due candidati A e B per determinare se un insieme è decisivo, non è necessario il quantificatore "per ogni".
Grazie per lo spunto.
Restano aperte le due questioni seguenti.
"Martino":
Giusto per aggiungere casino al casino, mi sono pure domandato: descrivere un sistema elettorale è equivalente a descriverne gli insiemi decisivi?
Un'altra cosa: se anziché scrivere una classifica completa delle preferenze ogni votante mettesse in una classifica solo alcuni candidati - quelli che vuole lui - adattando poi il punteggio in modo che i primi in classifica ricevano lo stesso numero di "punti" (uguale al numero dei candidati) secondo voi il sistema cambierebbe sensibilmente? A mio avviso no.
Grazie inoltre a Fioravante per l'interessamento
"Martino":
Non mi pare che le seguenti due asserzioni
- dato un qualsiasi insieme di votanti, o lui è decisivo oppure il suo complementare è decisivo;
- data una qualsiasi votazione a due candidati, uno dei due vince la votazione;
siano equivalenti.
Premetto che ho non ho mai letto interamente l'articolo di Odifreddi. Comunque, fondandomi esclusivamente su ciò che leggo nel tuo post e su assunzioni ovvie, mi sembra che le due affermazioni siano evidentemente equivalenti - proprio come dice Odifreddi - e dunque l'assioma d necessario. Qual è il problema?
Rinviando al prossimo sabato di relax 
una risposta compiuta, osservo che in quanto dici sento l'olezzo della dim del teorema di Arrow.
Il fatto che non si ammettano pareggi, mi sembra che possa essere legato ad una assunzione di considerare solo ordini stretti. Ma, visto che queste cose mi fanno sempre incartare, rinvio per una mia risposta articolata. Nel frattempo leggero' volentieri
una risposta compiuta, osservo che in quanto dici sento l'olezzo della dim del teorema di Arrow.Il fatto che non si ammettano pareggi, mi sembra che possa essere legato ad una assunzione di considerare solo ordini stretti. Ma, visto che queste cose mi fanno sempre incartare, rinvio per una mia risposta articolata. Nel frattempo leggero' volentieri
Salve,
resuscito questo thread perché oggi mi è stato dato di discutere con mio fratello di sistemi elettorali, e mi è venuto un dubbio che vorrei proporre a voi.
Nell'articolo da me succitato ci si mette in un dato sistema elettorale e si definisce "decisivo" un insieme di votanti tale che ogni volta che si tratta di votare tra due scelte e ogni persona in tale insieme vota per una delle due, essa vince la votazione. Per esempio nel caso della democrazia, un insieme decisivo è semplicemente un insieme di votanti che ne contiene più della metà.
Nell'articolo ci si mette in un sistema elettorale in cui ognuno stila una classifica completa dei candidati. In particolare si richiede allora che nel singolo voto non vi siano candidati alla pari, e che non ci siano astenuti.
Quindi si va a vedere cosa bisogna richiedere agli insiemi decisivi in modo che formino un filtro sull'insieme dei votanti.
a- il vuoto non vi appartiene. Beh, ragionevole in quanto se nessuno vota un'opzione essa non ha speranza di vincere;
b- chiusura all'insù. Ragionevole anche questa in quanto se un insieme ne contiene uno decisivo è auspicabile che anch'esso sia decisivo.
c- chiusura per intersezione. Questa proprietà non vale sempre ed è equivalente alla linearità del sistema elettorale (di cui si parla nell'articolo).
Supponendo valide le tre proprietà fin qui elencate, la proprietà che fa diventare il filtro un ultrafiltro è la seguente:
d- dato un qualsiasi insieme di votanti, o lui è decisivo oppure il suo complementare è decisivo.
Tale proprietà stride un po', a mio avviso. Infatti sono d'accordo sul fatto che se un insieme è decisivo il suo complementare non lo è. Ma come mai se un insieme non è decisivo il suo complementare lo dev'essere?
Se X è non decisivo e Y è il suo complementare, esiste una votazione a due candidati A e B tale che se gli X votano A e gli Y votano B allora A non vince, quindi o c'è pareggio oppure B vince. Come si può da questo dedurre che Y è decisivo? L'articolo dice:
Non mi trovo d'accordo con questa affermazione. Non mi pare che le seguenti due asserzioni
- dato un qualsiasi insieme di votanti, o lui è decisivo oppure il suo complementare è decisivo;
- data una qualsiasi votazione a due candidati, uno dei due vince la votazione;
siano equivalenti. Ok, magari non lo sono. Ma vi trovate d'accordo con l'assioma d ? Io sono perplesso.
Giusto per aggiungere casino al casino, mi sono pure domandato: descrivere un sistema elettorale è equivalente a descriverne gli insiemi decisivi?
Un'altra cosa: se anziché scrivere una classifica completa delle preferenze ogni votante mettesse in una classifica solo alcuni candidati - quelli che vuole lui - adattando poi il punteggio in modo che i primi in classifica ricevano lo stesso numero di "punti" (uguale al numero dei candidati) secondo voi il sistema cambierebbe sensibilmente? A mio avviso no.
Grazie se vorrete dire la vostra.
resuscito questo thread perché oggi mi è stato dato di discutere con mio fratello di sistemi elettorali, e mi è venuto un dubbio che vorrei proporre a voi.
Nell'articolo da me succitato ci si mette in un dato sistema elettorale e si definisce "decisivo" un insieme di votanti tale che ogni volta che si tratta di votare tra due scelte e ogni persona in tale insieme vota per una delle due, essa vince la votazione. Per esempio nel caso della democrazia, un insieme decisivo è semplicemente un insieme di votanti che ne contiene più della metà.
Nell'articolo ci si mette in un sistema elettorale in cui ognuno stila una classifica completa dei candidati. In particolare si richiede allora che nel singolo voto non vi siano candidati alla pari, e che non ci siano astenuti.
Quindi si va a vedere cosa bisogna richiedere agli insiemi decisivi in modo che formino un filtro sull'insieme dei votanti.
a- il vuoto non vi appartiene. Beh, ragionevole in quanto se nessuno vota un'opzione essa non ha speranza di vincere;
b- chiusura all'insù. Ragionevole anche questa in quanto se un insieme ne contiene uno decisivo è auspicabile che anch'esso sia decisivo.
c- chiusura per intersezione. Questa proprietà non vale sempre ed è equivalente alla linearità del sistema elettorale (di cui si parla nell'articolo).
Supponendo valide le tre proprietà fin qui elencate, la proprietà che fa diventare il filtro un ultrafiltro è la seguente:
d- dato un qualsiasi insieme di votanti, o lui è decisivo oppure il suo complementare è decisivo.
Tale proprietà stride un po', a mio avviso. Infatti sono d'accordo sul fatto che se un insieme è decisivo il suo complementare non lo è. Ma come mai se un insieme non è decisivo il suo complementare lo dev'essere?
Se X è non decisivo e Y è il suo complementare, esiste una votazione a due candidati A e B tale che se gli X votano A e gli Y votano B allora A non vince, quindi o c'è pareggio oppure B vince. Come si può da questo dedurre che Y è decisivo? L'articolo dice:
O un insieme o il suo complementare sono decisivi, il che è ovvio se si vuole che almeno una fra due alternative vinca in una votazione (cioè che non ci siano pareggi).
Non mi trovo d'accordo con questa affermazione. Non mi pare che le seguenti due asserzioni
- dato un qualsiasi insieme di votanti, o lui è decisivo oppure il suo complementare è decisivo;
- data una qualsiasi votazione a due candidati, uno dei due vince la votazione;
siano equivalenti. Ok, magari non lo sono. Ma vi trovate d'accordo con l'assioma d ? Io sono perplesso.
Giusto per aggiungere casino al casino, mi sono pure domandato: descrivere un sistema elettorale è equivalente a descriverne gli insiemi decisivi?
Un'altra cosa: se anziché scrivere una classifica completa delle preferenze ogni votante mettesse in una classifica solo alcuni candidati - quelli che vuole lui - adattando poi il punteggio in modo che i primi in classifica ricevano lo stesso numero di "punti" (uguale al numero dei candidati) secondo voi il sistema cambierebbe sensibilmente? A mio avviso no.
Grazie se vorrete dire la vostra.
[ParzialmenteOT]
Ecco, se Messori avesse letto questo articolino avrebbe parlato diversamente dei matematici da Belpietro (rispetto a quanto riportato qui)...
[/ParzialmenteOT]
"Martino":
Salve a tutti!
Volevo rendervi partecipi di questo articolo che ho trovato stamattina nel sito di Odifreddi, che mi è parso molto molto moltissimo interessante.
Ecco, se Messori avesse letto questo articolino avrebbe parlato diversamente dei matematici da Belpietro (rispetto a quanto riportato qui)...
[/ParzialmenteOT]
... e i filtri essendo interpretabili come ideali nell' (interpretabile come) anello dei sottoinsiemi di un dato insieme X, ecco che abbiamo scoperto che l'algebra ha in effetti applicazioni pratiche 
Non c'è di che
Interessanti i tuoi link, gli darò un'attenta occhiata.
PS: Argh, noto con dispiacere che il link che ho messo sembra non funzionare più.
"Fioravante Patrone":
Last but not least: grazie a Martino per avermi fatto perdere quasi un'ora, di sabato pomeriggio, per giunta!
Non c'è di che
Interessanti i tuoi link, gli darò un'attenta occhiata.
PS: Argh, noto con dispiacere che il link che ho messo sembra non funzionare più.
ccccccccccccccc ccccccccccc
yep!
Gli ultrafiltri sono tools curiosamente (?) usati nella teoria delle scelte sociali & friends:
http://www.springerlink.com/content/xgqfddgk0lctren5/
Social Choice and the Mathematics of Manipulation
Alan D. Taylor
vedasi:
http://www.cambridge.org/catalogue/cata ... 839&ss=ind
http://www.accessecon.com/pubs/SCW2008/ ... 00281S.pdf
Un "pizzico" di logica:
http://staff.science.uva.nl/~ulle/COMSO ... aniels.pdf
può essere curioso notare questo (Key Phrases - Statistically Improbable Phrases (SIPs)): :
http://www.amazon.com/phrase/ultrafilte ... =sip_bod_6
Volendo andare alle "radici", segnalo:
http://www.jstor.org/pss/1913328
ovvero:
Stability of Aggregation Procedures, Ultrafilters, and Simple Games
Pierre Batteau, Jean-Marie Blin and Bernard Monjardet
Econometrica, Vol. 49, No. 2 (Mar., 1981), pp. 527-534
ed i due lavori in esso citati:
Group Preferences
Bengt Hansson
Econometrica, Vol. 37, No. 1 (Jan., 1969), pp. 50-54
Kirman, Alan P. & Sondermann, Dieter, 1972. "Arrow's theorem, many agents, and invisible dictators," Journal of Economic Theory, Elsevier, vol. 5(2), pages 267-277, October
e, infine, questo, tratto da http://citeseer.ist.psu.edu/558857.html
Abstract: Fishburn (1970) showed that in an infinite society Arrow's axioms for a preference aggregation rule do not necessarily imply a dictator. Kirman and Sondermann (1972) showed that, in this case, nondictatorial rules imply an invisible dictator that, whenever the agent set is an atomless finite measure space, can be viewed as the limit of coalitions of arbitrarily small size.
ovvero:
Fishburn, P.C., Arrow's Impossibility Theorem: Concise Proof and Infinite Voters, Journal of Economic Theory (1970), 2: 103-106.
Arrow's impossibility theorem for social choice theory is proved by showing that his other conditions imply the contradictory of the condition that the set of individuals is nonempty and finite. These other conditions are shown to be consistent with the hypothesis that the set of individuals is infinite.
Infine, la parte "teologica" mi interessa meno.
Ma il "Limited Principle of Omniscience" interessa a qualcuno?
http://www.emis.de/journals/AMEN/2008/070202-2.PDF
Last but not least: grazie a Martino per avermi fatto perdere quasi un'ora, di sabato pomeriggio, per giunta!
Gli ultrafiltri sono tools curiosamente (?) usati nella teoria delle scelte sociali & friends:
http://www.springerlink.com/content/xgqfddgk0lctren5/
Social Choice and the Mathematics of Manipulation
Alan D. Taylor
vedasi:
http://www.cambridge.org/catalogue/cata ... 839&ss=ind
http://www.accessecon.com/pubs/SCW2008/ ... 00281S.pdf
Un "pizzico" di logica:
http://staff.science.uva.nl/~ulle/COMSO ... aniels.pdf
può essere curioso notare questo (Key Phrases - Statistically Improbable Phrases (SIPs)): :
http://www.amazon.com/phrase/ultrafilte ... =sip_bod_6
Volendo andare alle "radici", segnalo:
http://www.jstor.org/pss/1913328
ovvero:
Stability of Aggregation Procedures, Ultrafilters, and Simple Games
Pierre Batteau, Jean-Marie Blin and Bernard Monjardet
Econometrica, Vol. 49, No. 2 (Mar., 1981), pp. 527-534
ed i due lavori in esso citati:
Group Preferences
Bengt Hansson
Econometrica, Vol. 37, No. 1 (Jan., 1969), pp. 50-54
Kirman, Alan P. & Sondermann, Dieter, 1972. "Arrow's theorem, many agents, and invisible dictators," Journal of Economic Theory, Elsevier, vol. 5(2), pages 267-277, October
e, infine, questo, tratto da http://citeseer.ist.psu.edu/558857.html
Abstract: Fishburn (1970) showed that in an infinite society Arrow's axioms for a preference aggregation rule do not necessarily imply a dictator. Kirman and Sondermann (1972) showed that, in this case, nondictatorial rules imply an invisible dictator that, whenever the agent set is an atomless finite measure space, can be viewed as the limit of coalitions of arbitrarily small size.
ovvero:
Fishburn, P.C., Arrow's Impossibility Theorem: Concise Proof and Infinite Voters, Journal of Economic Theory (1970), 2: 103-106.
Arrow's impossibility theorem for social choice theory is proved by showing that his other conditions imply the contradictory of the condition that the set of individuals is nonempty and finite. These other conditions are shown to be consistent with the hypothesis that the set of individuals is infinite.
Infine, la parte "teologica" mi interessa meno.
Ma il "Limited Principle of Omniscience" interessa a qualcuno?
http://www.emis.de/journals/AMEN/2008/070202-2.PDF
Last but not least: grazie a Martino per avermi fatto perdere quasi un'ora, di sabato pomeriggio, per giunta!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo