Trovare la cifra di un periodo sapendo il valore delle altre
Se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, anche nel caso in cui il periodo ha centinaia di cifre, è possibile con un calcolo rapido trovare il valore di una cifra conoscendo tutte le altre?
Io ci riesco con una congettura, vorrei capire se esiste una regola per risolvere il problema.
Io ci riesco con una congettura, vorrei capire se esiste una regola per risolvere il problema.
Risposte
Ad esempio, con un metodo rapido trovare la cifra incognita di 2/1613=
0.0012399256 0446373217 6069435833 8499690018 5988840669 5598264104 1537507749 5350278983 2610043397 3961562306 2616243025 4184748915 065096094X 3434593924 3645381277 1233725976 4414135151 8908865468 0719156850 5889646621 2027278363 2982021078 7352758834 4699318040 9175449473 0316181029 1382517048 9770613763 1742095474 2715437073 7755734655 9206447613 1432114073 1556106633 6019838809 6714197148 1711097334 1599504029 7582145071 2957222566 646
che ha un periodo di 403 cifre.
0.0012399256 0446373217 6069435833 8499690018 5988840669 5598264104 1537507749 5350278983 2610043397 3961562306 2616243025 4184748915 065096094X 3434593924 3645381277 1233725976 4414135151 8908865468 0719156850 5889646621 2027278363 2982021078 7352758834 4699318040 9175449473 0316181029 1382517048 9770613763 1742095474 2715437073 7755734655 9206447613 1432114073 1556106633 6019838809 6714197148 1711097334 1599504029 7582145071 2957222566 646
che ha un periodo di 403 cifre.
Qualcuno ci sta ancora provando a trovare un metodo valido per tutte le estensioni decimali?
"Gabriel":
Se vuoi un esempio, che esempio sia - benché non ne capisca l'utile. Naturalmente, però, non puoi sperare che mi pieghi a far di conto su una frazione che ha un periodo lungo 250 cifre. Se di esempio a uso didattico si deve trattare, tanto vale prendere in considerazione - molto più semplicemente - il caso della frazione 2/7, il cui periodo p - calcolatrice alla mano - vale 285714 - ed è perciò di lunghezza 2n = 6. Supponiamo, tuttavia, che p sia noto a meno della prima cifra da sinistra, i.e. ci sia fornito nella forma x85714. Poiché dev'essere x85 + 714 = 999, si calcola che 5+4 = 9, con riporto di 0; 8+1+0 = 9, con riporto di 0; x+7+0 = 9, e quindi x = 2. Fine.
Sembra essere simile al procedimento breve che adotto io, nel caso di 2/541 prendo le tre cifre che precedono l'incognita 242x, ma possono essere scelte un numero di cifre a piacimento ad esempio 9242x calcolo quel numero che sommato a 9242 mi da 9999 in questo caso è 0757 cerco la sequenza 0757 tra le cifre conosciute e scopro il valore della cifra successiva che è 8 e quindi posso concludere che la cifra incognita è 1 perchè sommato a 8 mi da 9. Quindi nel caso in cui il periodo è lungo b-1 mi è sufficiente conoscere solo metà del valore delle cifre per determinare velocemente tutte le altre, 0 corrisponde a 9, 1 corrisponde a 8, 2 corrisponde a 7 ecc.
Per rendersi facilmente conto è sufficiente mettere una sopra l'altra le due metà del periodo.
0,11764705
88x35294
é facile dedurre che il valore dell'incognita x è 2.
Se vuoi un esempio, che esempio sia - benché non ne capisca l'utile. Naturalmente, però, non puoi sperare che mi pieghi a far di conto su una frazione che ha un periodo lungo 250 cifre. Se di esempio a uso didattico si deve trattare, tanto vale prendere in considerazione - molto più semplicemente - il caso della frazione 2/7, il cui periodo p - calcolatrice alla mano - vale 285714 - ed è perciò di lunghezza 2n = 6. Supponiamo, tuttavia, che p sia noto a meno della prima cifra da sinistra, i.e. ci sia fornito nella forma x85714. Poiché dev'essere x85 + 714 = 999, si calcola che 5+4 = 9, con riporto di 0; 8+1+0 = 9, con riporto di 0; x+7+0 = 9, e quindi x = 2. Fine.
Mi dici con un esempio come faresti a trovare la cifra incognita del quoziente in basso?
2/541=
0.0036968576709796672828096118299445 47134935304990757
8558225508 3179297597042513863216266173 75231053604436
2292051756007 3937153419593345656192236 59889094269870
609981515711 6451 01663585951940850277264 3253234750462
10720887245841 0351201478743068391866913123 84473197781
88539741219963031 4232902033271719038817005545 28650646
95009242X44177449168 2070240295748613678373382624 76894
63955637707948243992606 2846580406654343807763401109 05
73012939001848428835489833 6414048059149722735674676524
9537892791127541589648798521 256931608 1330868761552680
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2/541=
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609981515711 6451 01663585951940850277264 3253234750462
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63955637707948243992606 2846580406654343807763401109 05
73012939001848428835489833 6414048059149722735674676524
9537892791127541589648798521 256931608 1330868761552680
22 181146025878
Il costo dipende dalla posizione della cifra incognita nel periodo $p$ della frazione. In generale, se la cifra incognita occupa la posizione $k$ in una delle due metà di $p$ (dove $1 \le k \le n$ e $p$ è lungo $2n$), allora sono necessarie e sufficienti $k$ operazioni di somma cifra su cifra e al più $k-1$ riporti (tutti uguali ad 1) per stabilirne il valore. Nell'ipotesi del caso peggiore, le somme da eseguire (cifra su cifra) sono $n$ e i riporti $n-1$. Nell'ipotesi del caso migliore, basta una sola somma (senza alcun riporto).
"Gabriel":
In tal caso, propongo un metodo veloce che risolve il caso in cui il periodo della frazione irriducibile $m/n$ ha periodo $p$ di lunghezza 2n (quindi pari): se $p = (a_1, a_2, \ldots, a_{2n})_{10}$, dove $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ sono cifre decimali, allora $(a_1, a_2, \ldots, a_n)_{10} + (a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots, a_{2n})_{10} = 99 \ldots 9$, dove i 9 nella scrittura di destra sono in numero esattamente uguale ad n. Ad es., $1/7 = 0.\overline{142857}$ e $142 + 857 = 999$.
Quindi per conoscere una cifra del periodo di 2/541 devi sommare 539 cifre?
In tal caso, propongo un metodo veloce che risolve il caso in cui il periodo della frazione irriducibile $m/n$ ha periodo $p$ di lunghezza 2n (quindi pari): se $p = (a_1, a_2, \ldots, a_{2n})_{10}$, dove $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ sono cifre decimali, allora $(a_1, a_2, \ldots, a_n)_{10} + (a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots, a_{2n})_{10} = 99 \ldots 9$, dove i 9 nella scrittura di destra sono in numero esattamente uguale ad n. Ad es., $1/7 = 0.\overline{142857}$ e $142 + 857 = 999$.
"Gabriel":
Quindi, in altre parole, ci stai semplicemente chiedendo se esiste un metodo in grado di risolvere il tuo problema (determinare una cifra incognita del periodo di un frazione irriducibili m/n, note tutte le altre) - è corretto? Altrimenti, stiamo ragionando di aria fritta.
E' corretto, bisogna però aggiungere che per il metodo più breve è valido per alcuni casi, come ad esempio quando m/n genera un quoziente che ha un periodo di n-1 cifre, mentre il metodo più lungo è valido in tutti i casi, a prescindere della lunghezza del periodo rispetto a n.
Quindi, in altre parole, ci stai semplicemente chiedendo se esiste un metodo in grado di risolvere il tuo problema (determinare una cifra incognita del periodo di un frazione irriducibili m/n, note tutte le altre) - è corretto? Altrimenti, stiamo ragionando di aria fritta.
X "Gabriel"
La mia domanda ha l'intenzione di testare se quello che ho pensato è difficilmente deducibile, quindi per il momento preferisco non dare nessun indizio.
La mia domanda ha l'intenzione di testare se quello che ho pensato è difficilmente deducibile, quindi per il momento preferisco non dare nessun indizio.
Oh! Chiarito il punto, c'è un'osservazione che mi viene da rivolgerti. Nella valutazione della bontà di un algoritmo, è buona norma misurarne la complessità contando il numero $k$ di operazioni necessarie e sufficienti perché, nelle ipotesi del caso peggiore, esso restituisca la risposta attesa. In generale, ci si aspetta che $k$ sia funzione di uno o più parametri collegati ai dati di ingresso che l'algoritmo è chiamato a processare. In tal senso, risulta anzitutto indispensabile definire (d'altronde, in modo completamente arbitrario) un set di operazioni di costo unitario cui riferire - normalizzandolo - il calcolo della complessità. Nel caso specifico, un set di operazioni ragionevolmente adatto al problema mi pare l'insieme delle quattro operazioni razionali.
Non ha molto senso - solo per non dire che non ne ha nessuno - dichiarare che un algoritmo consente in uno, in due o in tre minuti di produrre un certo risultato carta&penna a partire da un input di data lunghezza. Il tempo non è un metro di valutazione attendibile - e spero vivamente di non doverne esplicitare le ragioni.
Dunque ti domando: quante somme al più esegue il tuo algoritmo prima di vomitare la risposta esatta? E prodotti? E divisioni? Ammettiamo pure che i dati in ingresso siano la lunghezza $n$ del periodo $p$ della frazione irriducibile $a/b$ (dove $a,b\in ZZ$ e $b \ge 1$) ed $n-1$ delle sue cifre decimali.
Non ha molto senso - solo per non dire che non ne ha nessuno - dichiarare che un algoritmo consente in uno, in due o in tre minuti di produrre un certo risultato carta&penna a partire da un input di data lunghezza. Il tempo non è un metro di valutazione attendibile - e spero vivamente di non doverne esplicitare le ragioni.
Dunque ti domando: quante somme al più esegue il tuo algoritmo prima di vomitare la risposta esatta? E prodotti? E divisioni? Ammettiamo pure che i dati in ingresso siano la lunghezza $n$ del periodo $p$ della frazione irriducibile $a/b$ (dove $a,b\in ZZ$ e $b \ge 1$) ed $n-1$ delle sue cifre decimali.
Comunque adesso mi sono reso conto che è anche possibile con una regola facilmente dimostrabile trovare il valore della cifra incognita in circa 5-10 minuti con carta e penna senza utilizzo di calcolatrice.
Per Grabriel
Del quoziente di 2/541 potresti sostituire il valore di una qualsiasi cifra con una lettera e io riesco con questa congettura a calcolarne il valore in circa 2 minuti, senza utilizzo di calcolatrice.
Del quoziente di 2/541 potresti sostituire il valore di una qualsiasi cifra con una lettera e io riesco con questa congettura a calcolarne il valore in circa 2 minuti, senza utilizzo di calcolatrice.
"Explorer":
Se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, anche nel caso in cui il periodo ha centinaia di cifre, è possibile con un calcolo rapido trovare il valore di una cifra conoscendo tutte le altre?
Sinceramente? Non ho capito. Intendi una cifra in particolare (ad es., la prima - oppure l'ultima) o vuoi significare qualsiasi cifra del periodo della frazione a/b (note tutte le altre $b-2$)?
Se la tua congettura è corretta .. ed è più semplice di altri sistemi vuol dire che l'hai utilizzata per calcolare il decimale che hai riportato. Desumo quindi che hai utilizzato un po' di carta e 7*540 minuti di calcolo a penna cioè circa 63 ore. Bella pazienza.. Scherzo. ...penso che se la tua congettura si dimostrerà corretta, questo approccio al problema potrebbe essere interessante
A.B
A.B
Cercherò di quantificare cosa intendo per calcolo rapido, ad esempio 2/541=
0.0036968576709796672828096118299445 47134935304990757
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609981515711 6451 01663585951940850277264 3253234750462
10720887245841 0351201478743068391866913123 84473197781
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9537892791127541589648798521 256931608 1330868761552680
22 181146025878
Il periodo è lungo 540 cifre, con un periodo di questa lunghezza, con la mia congettura, si può impiegare 2 minuti circa per trovare il valore di una cifra , con solo carta e penna, senza utilizzo di calcolatrice.
0.0036968576709796672828096118299445 47134935304990757
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22 181146025878
Il periodo è lungo 540 cifre, con un periodo di questa lunghezza, con la mia congettura, si può impiegare 2 minuti circa per trovare il valore di una cifra , con solo carta e penna, senza utilizzo di calcolatrice.
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