Trinomio di Leibniz

[sofiarag]

salve a tutti...vorrei sapere se qualcuno puo' dirmi la formula di Leibniz per lo sviluppo del trinomio (a+b+c)^n, analoga a quella di Newton per lo sviluppo di (a+b)^n.
Grazie

[desko]

All'università mi ero posto la domanda se esistesse lo sviluppo polinomiale analogo a quello binomiale di Newton.
Trovai anche la risposta arrivando a costruire una sorta di tetraedro analogo al triangolo al triangolo di Tartaglia, concetto ovviamente generalizzabile a più dimensioni.
Poi chiesi ad un prof che mi dice che avevo scoperto l'acqua calda.

[gugo82]

"Zakk":salve a tutti...vorrei sapere se qualcuno puo' dirmi la formula di Leibniz per lo sviluppo del trinomio (a+b+c)^n, analoga a quella di Newton per lo sviluppo di (a+b)^n.
Grazie

La formula è pressocché uguale, solo che al posto del coefficiente binomiale $((n),(k))$ appare un simbolo più complesso: lo sviluppo della potenza $n$-esima del trinomio $a+b+c$ è dato da:

(*) $quad (a+b+c)^n=\sum_(\stackrel{k+h+l=n}{0le k, h, l le n}) ((n),(k h l))*a^k*b^h*c^l$,

ove il numero:

$((n),(k h l))=(n!)/(k!*h!*l!)$

è detto coefficiente trinomiale $n$ su $k$, $h$, $l$.
La validità della formula, ovviamente, si dimostra facendo induzione su $n$.

Non so se è questa la formula che ti aspettavi, ma è certamente quella giusta.

Per uno sviluppo un po' più esplicito puoi ricorrere ad uno stratagemma: nel trinomio raccogli in parentesi il binomio $b+c$ e sviluppa con la formula di Newton la potenza $[a+(b+c)]^n$: trovi:

$(a+b+c)^n=[a+(b+c)]^n=\sum_(k=0)^n((n),(k)) a^k*(b+c)^(n-k)$;

applicando successivamente lo sviluppo di Newton alla potenza $n-k$-esima del binomio $b+c$ la formula precedente si trasforma in:

$(a+b+c)^n=\sum_(k=0)^n((n),(k)) a^k*\sum_(h=0)^(n-k)((n-k),(h)) b^h*c^(n-k-h)=\sum_(k=0)^n\sum_(h=0)^(n-k)((n),(k))*((n-k),(h))*a^k*b^h*c^(n-k-h)$;

ora per la stessa definizione dei coefficienti binomiali hai:

$((n),(k))*((n-k),(h))=(n!)/(k!*(n-k)!)*((n-k)!)/(h!*(n-h-k)!)=(n!)/(k!*h!*(n-k-h)!)$

quindi il tuo sviluppo si scrive:

(**) $quad (a+b+c)^n=\sum_(k=0)^n\sum_(h=0)^(n-k)(n!)/(k!*h!*(n-k-h)!)*a^k*b^h*c^(n-k-h)$.

La (**) è una formulazione meno sintetica della (*).

Spero di esserti stato utile.
Buono studio.