Test di analisi Matematica 2 (IV unità compatta)
Ciao volevo proporvi un mio compito di analisi 2 (IV unità compatta) sostenuto all'università di fisica di Trento, purtroppo con esito negativo. Se qualcuno ha voglia di cimentarsi con la soluzione dei seguenti problemi gliene sarei molto grato perchè la soluzione anche se effettuata con modi diversi da come vuole il mio prof, mi darebbe una mano a capire i miei errori, grazie mille.
""la "e" nelle parentesi grafe, sta per: appartiene a""
""il simbolo "|" significa: "tale che" indicato a volte anche: t.c.""
Ecco i problemi:
1. Calcolare il volume dell'insieme:
{(x,y,z)eR^3 | x più y>=0 , x^2 più y^2<=1 , x^2 più y^2<=z<=1}.
"Dovrebbe essere un cilindro intersecato con un paraboloide concentrico all'asse del cilindro, tagliato a metà da un piano perpendicolare al piano xy e posto a 45° passante per l'origine degli assi cartesiani (punto dove passa l'asse del cilindro e il minimo (il fondo) del paraboloide) passante per il primo e terzo quadrante."
2. Calcolare l'area della superficie ottenuta ruotando la curva:
{(x,y,z)eR^3 | ye[0,1] , x=0 , z=1-y^2}
intorno all'asse y.
3. Si consideri il campo vettoriale:
F(x,y):=((y^2 più xy più 1)/(x più y),(x^2 più xy più 1)/(x più y)),
x più y diverso da 0.
(i) Dimostrare che F è conservativo;
(ii) Sia phi un potenziale di F e sia
psi(x,y):=(-(x^2 più y^2)/2) più x più y , (x,y)eR^2.
Dire in quali punti la funzione complessa (phi più i*psi)
è olomorfa. La i è quella dei numeri complessi, ovviamente.
P.S.: i problemi di cui mi interessa maggiormente la soluzione sono i primi 2 (1 integrale di volume con parametrizzazione da determinare, integrale di superficie nello spazio anche questo credo da risolvere con parametrizzazione) per il terzo è lo stesso.
Grazie mille, spero che qualcuno colga la sfida e abbia tempo di provare a risolverli, mi darebbe un grande aiuto.
Spero che sia abbastanza chiaro il testo.
""la "e" nelle parentesi grafe, sta per: appartiene a""
""il simbolo "|" significa: "tale che" indicato a volte anche: t.c.""
Ecco i problemi:
1. Calcolare il volume dell'insieme:
{(x,y,z)eR^3 | x più y>=0 , x^2 più y^2<=1 , x^2 più y^2<=z<=1}.
"Dovrebbe essere un cilindro intersecato con un paraboloide concentrico all'asse del cilindro, tagliato a metà da un piano perpendicolare al piano xy e posto a 45° passante per l'origine degli assi cartesiani (punto dove passa l'asse del cilindro e il minimo (il fondo) del paraboloide) passante per il primo e terzo quadrante."
2. Calcolare l'area della superficie ottenuta ruotando la curva:
{(x,y,z)eR^3 | ye[0,1] , x=0 , z=1-y^2}
intorno all'asse y.
3. Si consideri il campo vettoriale:
F(x,y):=((y^2 più xy più 1)/(x più y),(x^2 più xy più 1)/(x più y)),
x più y diverso da 0.
(i) Dimostrare che F è conservativo;
(ii) Sia phi un potenziale di F e sia
psi(x,y):=(-(x^2 più y^2)/2) più x più y , (x,y)eR^2.
Dire in quali punti la funzione complessa (phi più i*psi)
è olomorfa. La i è quella dei numeri complessi, ovviamente.
P.S.: i problemi di cui mi interessa maggiormente la soluzione sono i primi 2 (1 integrale di volume con parametrizzazione da determinare, integrale di superficie nello spazio anche questo credo da risolvere con parametrizzazione) per il terzo è lo stesso.
Grazie mille, spero che qualcuno colga la sfida e abbia tempo di provare a risolverli, mi darebbe un grande aiuto.
Spero che sia abbastanza chiaro il testo.
Risposte
CIao grazie mille.
PS ma per caso hai inventato il motore a curvatura per dare le risp così velocemente?
)
Grande. Adesso che lo so posterò molto più frequentemente i miei problemi.
Ciao
PS ma per caso hai inventato il motore a curvatura per dare le risp così velocemente?
)Grande. Adesso che lo so posterò molto più frequentemente i miei problemi.
Ciao
x' e z' sono le derivate rispetto alla variabile t
di x(t) e z(t) che nel nostro caso sono entrambi
uguali a 1-t^2.
Percio':x'^2+z'^2=(-2t)^2+(-2t)^2=8t^2
Quanto a dt e d(teta) sono i differenziali (delle nuove variabili
"t" e "teta") che devono comparire nell'integrale (doppio) di superficie
con il quale appunto si calcola la superficie richiesta.
Infine |z(t)| e' il modulo di z(t)=1-t^2.Essendo,nel nostro caso,
0<=t<=1 ,risulta 1-t^2>=0 e quindi in realta' il modulo si puo' omettere nel calcolo e scrivere solo 1-t^2.
Tieni presente che,come ho gia' detto,vi sono altri possibili
modi per svolgere l'esercizio.
karl.
di x(t) e z(t) che nel nostro caso sono entrambi
uguali a 1-t^2.
Percio':x'^2+z'^2=(-2t)^2+(-2t)^2=8t^2
Quanto a dt e d(teta) sono i differenziali (delle nuove variabili
"t" e "teta") che devono comparire nell'integrale (doppio) di superficie
con il quale appunto si calcola la superficie richiesta.
Infine |z(t)| e' il modulo di z(t)=1-t^2.Essendo,nel nostro caso,
0<=t<=1 ,risulta 1-t^2>=0 e quindi in realta' il modulo si puo' omettere nel calcolo e scrivere solo 1-t^2.
Tieni presente che,come ho gia' detto,vi sono altri possibili
modi per svolgere l'esercizio.
karl.
Scusa mi potresti spiegare cosa intendi nel 2°problema con il passaggio dove indichi l'integrale come modulo di z(t) e poi la radiceq di x'^2+z'^2, queste ultime sono le derivate della x ed y in cosa? dt e dteta? Grazie ma è l'unico passaggio che mi è poco chiaro, il primo e l'ultimo li ho capiti al volo, e sono pure delle cavolate, pensare che durante il compito mi ero scervellato sul disegno, ciao e ancora grazie.
Grazie mille, come sempre: + veloci della luce!!! Ciao
Solo una correzione a quanto detto da karl. F è derivabile con continuità in tutti i punti in cui x+y è diverso da 0. Quindi i punti da escludere sono tutti quelli della retta y=-x e non solo l'origine. Ciao!
3°
Posto :
F1=(y^2+xy+1)/(x+y) ;F2=(x^2+xy+1)/(x+y).
Si vede che F1 ed F2 sono continue e derivabili in qualunque
intorno rettangolare di R^2 escudente l'origine.Inoltre e' facile
vedere che
derivata di F1 rispetto ad y)=(derivata di F2 rispetto ad x)= e cio' prova che il campo F e' conservativo
cioe' ammette un potenziale.Questo potenziale,a meno di una costante,e':xy+ln|x+y|.
La funzione complessa in questione e' dunque:
f(z)=xy+ln|x+y|+j*(-(x^2+y^2)/2+(x+y))=u+jv.
Per verificare l'olomorfia di f(z) e' sufficiente verificare
le condizioni di Cauchy-Riemann:
du/dx=dv/dy dv/dx=-du/dx (il simbolo "d " qui indica derivata parziale).
Quindi basta un po' di derivate.
karl.
Posto :
F1=(y^2+xy+1)/(x+y) ;F2=(x^2+xy+1)/(x+y).
Si vede che F1 ed F2 sono continue e derivabili in qualunque
intorno rettangolare di R^2 escudente l'origine.Inoltre e' facile
vedere che
derivata di F1 rispetto ad y)=(derivata di F2 rispetto ad x)= e cio' prova che il campo F e' conservativocioe' ammette un potenziale.Questo potenziale,a meno di una costante,e':xy+ln|x+y|.
La funzione complessa in questione e' dunque:
f(z)=xy+ln|x+y|+j*(-(x^2+y^2)/2+(x+y))=u+jv.
Per verificare l'olomorfia di f(z) e' sufficiente verificare
le condizioni di Cauchy-Riemann:
du/dx=dv/dy dv/dx=-du/dx (il simbolo "d " qui indica derivata parziale).
Quindi basta un po' di derivate.
karl.
2° es.
Assumendo y come parametro,la curva ha equazioni:
x=0; y=t;z=1-t^2 con t in [0,1].
Ne segue,per note formule,che le equazioni parametriche della
superficie sono:
x=(1-t^2)*sin(teta)
z=(1-t^2)*cos(teta)
y=t
con t in [0,1] , teta in [0,2*pi] e x(t)=z(t)=1-t^2 .
La supeficie richiesta sara' data dalla formula:
S=int((|z(t)|*sqrt(x'^2+z'^2))dt*d(teta),[0<=t<=1,0<=teta<=2*pi])
cioe':
S=4*pi*sqrt(2)*int((t-t^3)dt,[0,1]) ovvero:
S=pi*sqrt(2).
N.B. Vi sono altri modi per arrivare al risultato.
karl.
Assumendo y come parametro,la curva ha equazioni:
x=0; y=t;z=1-t^2 con t in [0,1].
Ne segue,per note formule,che le equazioni parametriche della
superficie sono:
x=(1-t^2)*sin(teta)
z=(1-t^2)*cos(teta)
y=t
con t in [0,1] , teta in [0,2*pi] e x(t)=z(t)=1-t^2 .
La supeficie richiesta sara' data dalla formula:
S=int((|z(t)|*sqrt(x'^2+z'^2))dt*d(teta),[0<=t<=1,0<=teta<=2*pi])
cioe':
S=4*pi*sqrt(2)*int((t-t^3)dt,[0,1]) ovvero:
S=pi*sqrt(2).
N.B. Vi sono altri modi per arrivare al risultato.
karl.
Risolvo il 1°es.
Usando coordinate cilindriche,il dominio D risulta cosi' condizionato:
r^2<=z<=1
0
Ne segue che il volume di tale dominio e':
V=int3(r*dr*dz*d(teta)) esteso al dominio in questione.
V=int(d(teta),[-pi/4<=teta<=3*pi/4] )*int(r*(int(dz,[r^2,1]))dr,[0,1])
Con qualche facile calcolo si ha:
V=pi/4.
(sperando nell'esattezza dei miei ricordi).
karl.
Usando coordinate cilindriche,il dominio D risulta cosi' condizionato:
r^2<=z<=1
0
Ne segue che il volume di tale dominio e':
V=int3(r*dr*dz*d(teta)) esteso al dominio in questione.
V=int(d(teta),[-pi/4<=teta<=3*pi/4] )*int(r*(int(dz,[r^2,1]))dr,[0,1])
Con qualche facile calcolo si ha:
V=pi/4.
(sperando nell'esattezza dei miei ricordi).
karl.
Correggo un errore per chiarimento:
P.S.: i problemi di cui mi interessa maggiormente la soluzione sono i primi 2 ( [1.]integrale di volume con parametrizzazione da determinare, [2.] integrale di superficie nello spazio anche questo credo da risolvere con parametrizzazione) per il terzo è lo stesso.
P.S.: i problemi di cui mi interessa maggiormente la soluzione sono i primi 2 ( [1.]integrale di volume con parametrizzazione da determinare, [2.] integrale di superficie nello spazio anche questo credo da risolvere con parametrizzazione) per il terzo è lo stesso.
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