Test d'ammissione alla Sissa
Stavo dando un'occhiata al test d'ammissione alla Sissa del 2003 e mi sono posto il problema di come si risolvono gli esercizi. Nel senso che, ad esempio si richiede di dimostrare che Z3[x]/(f) è un campo quando f è irriducibile... a parte il fatto che sta roba si fa ad algebra 1 e speravo si desse per scontata, da dove parto per dimostrarlo?? devo fare tutta la tiritera sulle operazioni ben definite sulle classi resto, e che verificano certe proprietà... oppure posso subito dire: "bene, sicuramente il quoziente è un anello privo di divisori dello zero essendo f irriducibile ed è anche finito quindi è un campo da un noto teorema sugli anelli finiti". oppure mi devo mettere a dimostrare il "noto teorema sugli anelli finiti". E se per caso al posto di Z3 ci fosse stato un campo infinito? la faccenda si faceva seriamente più complicata nel senso che bisogna "procedere a mano"....
in poche parole: in questi test di ammissione quanto si dà e quanto si deve dare per scontato?
ciao, ubermensch
in poche parole: in questi test di ammissione quanto si dà e quanto si deve dare per scontato?
ciao, ubermensch
Risposte
In effetti, confidando sulla memoria che non è più quella di un tempo [ahimeh!…], ho finito per commettere una grossa imprecisione. Il mio errore è stato quello di confondere i concetti di ‘polinomi iriducibili’ [detti anche ‘polinomi primi’…] e di ‘polinomi primitivi’. Per chi volesse approfondire la questione consiglio la lettura del seguente articolo…
http://www.seanerikoconnor.freeservers. ... heory.html
… nel quale è riportato proprio un esempio di un campo $GF(3^2)$ con polinomio generatore $p(x)=2+x+x^2$. Quello che ricordavo come ‘condizione necessaria ma non sufficiente’ è in realtà correttamente la seguente…
Condizione necessaria affinché un polinomio p(x) di un campo finito sia un polinomio primitivo è che sia un polinomio primo. Viceversa un polinomio primo non è necessariamente un polinomio primitivo
Rimanendo sempre in $GF(3^2)$ polinomi primitivi sono i seguenti…
$p(x)=2+x+x^2$
$p(x)=2+2x+x^2$ (1)
Invece il polinomio $p(x)=1+x^2$ è irriducibile ma non primitivo…
cordiali saluti
lupo grigio
http://www.seanerikoconnor.freeservers. ... heory.html
… nel quale è riportato proprio un esempio di un campo $GF(3^2)$ con polinomio generatore $p(x)=2+x+x^2$. Quello che ricordavo come ‘condizione necessaria ma non sufficiente’ è in realtà correttamente la seguente…
Condizione necessaria affinché un polinomio p(x) di un campo finito sia un polinomio primitivo è che sia un polinomio primo. Viceversa un polinomio primo non è necessariamente un polinomio primitivo
Rimanendo sempre in $GF(3^2)$ polinomi primitivi sono i seguenti…
$p(x)=2+x+x^2$
$p(x)=2+2x+x^2$ (1)
Invece il polinomio $p(x)=1+x^2$ è irriducibile ma non primitivo…
cordiali saluti
lupo grigio
Esattamente.
è vero luca... dal punto di vista degli anelli si vede ancora meglio: A\M è un campo se e solo se M è massimale. Poichè nel nostro caso A è un dominio euclideo allora tutti e soli gli ideali massimali sono quelli generati da elementi irriducibili...
Hai ragione Ubermensch, in generale $A/M$ con $A$ anello commutataivo con unita' e e $M$ ideale, e' un campo se e solo se $M$ e' massimale. Nel caso degli anelli di polinomi si ha l'equivalenza che dicevi.
l'inverso di 1+x in Z3 mod(1+x^2) è x-1...
mi sembra di ricordare che sia condizione necessaria e sufficiente... andrò a controllare!
ciao, ubermensch
mi sembra di ricordare che sia condizione necessaria e sufficiente... andrò a controllare!
ciao, ubermensch
Che l’irriducibilità di f(x) costuisca condizione necessaria perché essa generi un campo in Z[3] non ci piove. Altrettanto vero però è che questa non è condizione sufficiente e ciò è facilmente dimostrabile con un esempio. Rimanendo in Z[3] per semplificare il più possibile la cosa poniamo che f(x) sia un polinomio di grado ‘basso’ , magari di grado 2. I polinomi di grado 2 in Z[3] il cui insieme dei resti costituisca un campo costutiscono i cosiddetti polinomi primi. Condizione necessaria, come giustamente è stato dimostrato, è che essi siano irriducibili. In Z[3] i polinomi primi di grado 2 sono solo 2…
$f(x)=2+x+x^2$
$f(x)= 2+2x+x^2$ (1)
Ad esempio $f(x)=2+x+x^2$ genera, a parte il polinomio nullo, il seguente campo…
$x^0 =1$
$x^1=x$
$x^2=1+2x$
$x^3=2+2x$
$x^4=2$
$x^5=2x$
$x^6=2+x$
$x^7=1+x$
Da notare che la somma di due qualsiasi elementi del tipo $x^k$ fornisce un altro elemento e che ogni elento diverso dal polinomio nullo ammette l’inverso moltiplicativo [l’inverso di $x^k$ è $x^(8-k)$… ]. Le proprietà formali del ‘campo’ sono così rispettate…
Consideriamo ora un polinomio in Z[3] di grado 2 irriducibile ma diverso dai due visti ora, per esempio $f(x)=1+x^2$ [la verifica che esso è irriducibile è abbastanza agevole…]. L’insieme dei resti da esso generato è il seguente…
$x^0=1$
$x^1=x$
$x^2=2$
$x^3=2x$
E’ evidente che stavolta l’insieme delle $x^k$ non costituisce un campo. Sommando ad esempio $x^0$ e $x^1$ si ottiene $1+x$, il quale non ha inverso moltiplicativo modulo $f(x)=1+x^2$ e quindi non è elemento di un campo…
cordiali saluti
lupo grigio
P.S. Per curiosità, quanto da te sostenuto a proposito di 'condizione necessaria e sufficiente...' è tua personale 'convinzione' oppure l'hai letto su un 'testo di scuola'?...
$f(x)=2+x+x^2$
$f(x)= 2+2x+x^2$ (1)
Ad esempio $f(x)=2+x+x^2$ genera, a parte il polinomio nullo, il seguente campo…
$x^0 =1$
$x^1=x$
$x^2=1+2x$
$x^3=2+2x$
$x^4=2$
$x^5=2x$
$x^6=2+x$
$x^7=1+x$
Da notare che la somma di due qualsiasi elementi del tipo $x^k$ fornisce un altro elemento e che ogni elento diverso dal polinomio nullo ammette l’inverso moltiplicativo [l’inverso di $x^k$ è $x^(8-k)$… ]. Le proprietà formali del ‘campo’ sono così rispettate…
Consideriamo ora un polinomio in Z[3] di grado 2 irriducibile ma diverso dai due visti ora, per esempio $f(x)=1+x^2$ [la verifica che esso è irriducibile è abbastanza agevole…]. L’insieme dei resti da esso generato è il seguente…
$x^0=1$
$x^1=x$
$x^2=2$
$x^3=2x$
E’ evidente che stavolta l’insieme delle $x^k$ non costituisce un campo. Sommando ad esempio $x^0$ e $x^1$ si ottiene $1+x$, il quale non ha inverso moltiplicativo modulo $f(x)=1+x^2$ e quindi non è elemento di un campo…
cordiali saluti
lupo grigio
P.S. Per curiosità, quanto da te sostenuto a proposito di 'condizione necessaria e sufficiente...' è tua personale 'convinzione' oppure l'hai letto su un 'testo di scuola'?...
l'esempio era tale e quale (a meno della definizione esplicita del polinomio f) all'esercizio del test. L'irriducibilità di f è necessaria e sufficiente a che il quoziente sia un campo. Il viceversa si può dim supponendo per assurdo che f non sia irriducibile, allora un suo fattore è uno zero divisore nel quoziente e quindi tale quoziente non potrebbe essere un campo: assurdo.
ciao, ubermensch
P.s. ho parlato con qualche prof e mi hanno tutti sconsigliato di provare ad entrare alla SISSA per quello che voglio fare io (teoria dei numeri).... sigh... non so che fare!!!!!!
ciao, ubermensch
P.s. ho parlato con qualche prof e mi hanno tutti sconsigliato di provare ad entrare alla SISSA per quello che voglio fare io (teoria dei numeri).... sigh... non so che fare!!!!!!
"ubermensch":
... ad esempio si richiede di dimostrare che Z3[x]/(f) è un campo quando f è irriducibile...
Non mi è chiaro se ubermensch abbia fatto un esempio 'così tanto per fare' o no... Il fatto è che, se ben ricordo, la condizione che f(x) sia irriducibile è condizione necessaria ma non sufficiente perchè essa generi un campo...
cordiali saluti
lupo grigio
No, Giusepperoma, la SISSA non e' la SSIS, sono due cose diverse completamente, la SISSA e' una scuola di eccellenza dove si fa da anni il dottorato di ricerca in Analisi Funzionale e anche altri settori della Scienza.
www.sissa.it
Gli esercizi richiesti per entrare alla SISSA non hanno nulla a che fare con quelli per entrare alla SSIS....
www.sissa.it
Gli esercizi richiesti per entrare alla SISSA non hanno nulla a che fare con quelli per entrare alla SSIS....
Confermo, è Bernardi.
Hem SSIS non SISSA!!! (Scuola di Specializzazione per l' Insegnamento Secondario)
Comunque, credo non sia necessario dimostrare teoremi, basta citarli ed usarli. Quando feci l'esame a suo tempo, non mi sembr di aver dovuto dimostrare alcun teorema, ma ovviamente puo' capitarre di dover usare un teorema per dimostrare qualche altra cosa, come dici tu!
Comunque credo che per toglerti ogni dubbio ti convenga chiedere direttamente al professore responsabile della SSIS nella tua Universita'. Se sei alla Sapienza e se non e' cambiato, dovrebbe essere il professor Bernardi.
Ciao,
Giuseppe
Comunque, credo non sia necessario dimostrare teoremi, basta citarli ed usarli. Quando feci l'esame a suo tempo, non mi sembr di aver dovuto dimostrare alcun teorema, ma ovviamente puo' capitarre di dover usare un teorema per dimostrare qualche altra cosa, come dici tu!
Comunque credo che per toglerti ogni dubbio ti convenga chiedere direttamente al professore responsabile della SSIS nella tua Universita'. Se sei alla Sapienza e se non e' cambiato, dovrebbe essere il professor Bernardi.
Ciao,
Giuseppe
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo