Teoria algoritmica dell'informazione
Su "Le Scienze" di maggio 2006 c'è un bellissimo articolo di Gregory Chaitin (colui che ha praticamente inventato questo ramo della Matematica), che dà una sua dimostrazione di poche pagine dell'incompletezza della Matematica, dando definizioni del numero incalcolabile $omega$, inventato da lui.
In seguito, definisce la Matematica una scienza quasi-empirica, volendola avvicinare molto alla Fisica. Sostiene che anche la Matematica dovrebbe fare come la Fisica, cioè constatare un fatto e in seguito accettarlo come assiome (se risulta indecidibie o se si sospetta da tempo che lo sia). Ad esempio, dice che P diverso da NP potrebbe essere un assioma da adottare, che renderebbe la Matematica solo più potente. E' chiaro che il sogno di Hilbert è morto da tempo, però inconsciamente io spero ancora che "es gibt keine ignorabimus".
Mi interessava anche la vostra opinione.
In seguito, definisce la Matematica una scienza quasi-empirica, volendola avvicinare molto alla Fisica. Sostiene che anche la Matematica dovrebbe fare come la Fisica, cioè constatare un fatto e in seguito accettarlo come assiome (se risulta indecidibie o se si sospetta da tempo che lo sia). Ad esempio, dice che P diverso da NP potrebbe essere un assioma da adottare, che renderebbe la Matematica solo più potente. E' chiaro che il sogno di Hilbert è morto da tempo, però inconsciamente io spero ancora che "es gibt keine ignorabimus".
Mi interessava anche la vostra opinione.
Risposte
@dissonance: ok, non esagero con il riesumare cadaveri, ma mi sarebbe piaciuto che questo argomento fosse risorto e in parte sembra che ci sono riuscito 
. Per mio conto la IAT ha da dire ancora molto sia sui fondamenti della matematica sia sulla matematica applicata, personalmente l'ho utilizzata per stimare il numero di sorgenti sonore tramite una schiera di sensori acustici in un modello sottodeterminato dove i "normali algoritmi" falliscono... Al di la di questa applicazione pratica mi interesserebbe capire se una tale teoria possa avere sviluppi e applicazioni per quanto riguarda la "semantica" delle informazioni, per far luce su alcune problematiche di scienze cognitive, teoria della mente etc etc.
. Per mio conto la IAT ha da dire ancora molto sia sui fondamenti della matematica sia sulla matematica applicata, personalmente l'ho utilizzata per stimare il numero di sorgenti sonore tramite una schiera di sensori acustici in un modello sottodeterminato dove i "normali algoritmi" falliscono... Al di la di questa applicazione pratica mi interesserebbe capire se una tale teoria possa avere sviluppi e applicazioni per quanto riguarda la "semantica" delle informazioni, per far luce su alcune problematiche di scienze cognitive, teoria della mente etc etc.
Io non vedo poi tanti problemi con il teorema dell'incompletezza. D'altra parte comunque scegliere così un assioma mi pare senza senso. Nel senso che con il 5° postulato di Euclide si è effettivamente trovato un teorema indimostrabile ma la stessa cosa non la farei altri teoremi non dimostrati. Anche perché così esponiamo la matematica al rischio di contenere contraddizioni.
Inoltre sono totalmente in disaccordo sul fatto che fisica e matematica siano simili e che lo siano per il teorema dell'incompletezza. Ora la matematica cerca di esplorare cose "alla cieca" mentre la fisica di fare un modello di qualcosa che c'è. In un caso pensare che qualcosa sia fatto in un modo senza vederlo è insensato mentre nell'altro è solo un modo per procedere per approssimazioni. È un po' come se la matematica fosse una persona che cerca di illuminare un territorio completamente buio mentre la fisica cerchi di fare una scultura. A me non sembra che siano così simili. Non vedo che vantaggio ci sia a considerare qualcosa come assioma. Al massimo cerchi di dimostrare che se "N vs NP è vero allora succede X", non capisco il vantaggio di considerarlo come assioma. C'è chi non usa il teorema della scelta e dovremmo usare N vs. NP... perché?
Inoltre sono totalmente in disaccordo sul fatto che fisica e matematica siano simili e che lo siano per il teorema dell'incompletezza. Ora la matematica cerca di esplorare cose "alla cieca" mentre la fisica di fare un modello di qualcosa che c'è. In un caso pensare che qualcosa sia fatto in un modo senza vederlo è insensato mentre nell'altro è solo un modo per procedere per approssimazioni. È un po' come se la matematica fosse una persona che cerca di illuminare un territorio completamente buio mentre la fisica cerchi di fare una scultura. A me non sembra che siano così simili. Non vedo che vantaggio ci sia a considerare qualcosa come assioma. Al massimo cerchi di dimostrare che se "N vs NP è vero allora succede X", non capisco il vantaggio di considerarlo come assioma. C'è chi non usa il teorema della scelta e dovremmo usare N vs. NP... perché?
@sublimina: Non esagerare con il necro-posting (il richiamo di thread ormai non più attivi da molto tempo). Specie se condotto con lo scopo di pubblicizzare un link ad un sito esterno.
Grazie.
Grazie.
La teoria algoritmica dell'informazione è interessantissima, nonché fondamentale per rispondere ad alcune domande sui fondamenti della matematica (o meglio per capire che non avranno mai risposta...) Un interessante libro in italiano dove Gregory Chaitin illustra il proprio pensiero è OMEGA. E' leggibile e molto interessante!!!
Perchè non è dimostrabile ?
Perchè in un sistema formale la dimostrabilità è meno forte della nozione di "verità".
La domanda da 1 milione di dollari ( non quelli del Clay) è : siamo in grado di dire se il problema PvsNP, è uno di quei casi patologici di verità non dimostrabili, oppure sono le nostre tecniche di dimostrazione che non sono adatte ?
Perchè in un sistema formale la dimostrabilità è meno forte della nozione di "verità".
La domanda da 1 milione di dollari ( non quelli del Clay) è : siamo in grado di dire se il problema PvsNP, è uno di quei casi patologici di verità non dimostrabili, oppure sono le nostre tecniche di dimostrazione che non sono adatte ?
adottare come assioma che P diverso NP? solitamente la caratteristica di un'assioma e' quella di essere evidente... in ogni caso promuovere ad assioma qualcosa che non si riesce a dimostrare mi sembra bruttissimo oltre che non corretto... se veramente non si puo' dimostrare P=NP ne P!=NP allora dobbiamo arrivare a capire il perche'(non sia dimostrabile).
Sono d'accordo con te, ma secondo me c'è un po' di verità nelle parole di Chaitin. Soprattutto quando avvicina, dal punto di vista concettuale, la matematica alla fisica. Nuovi assiomi, direi più appropriamente "postulati", potrebbero essere utili.
Adottare come assioma P diverso da NP non servirebbe a molto, hai ragione.
Adottare come assioma P diverso da NP non servirebbe a molto, hai ragione.
Premesso che sono probabilmente il meno titolato a parlare di epistemologia qui dentro, vorrei fare una semplice riflessione.
Se operiamo come suggerito dall'autore da te citato, c'è il rischio di far diventare la matematica come il prodotto di una "convenzione": i matematici del mondo si riunioscono e decidono di "adottare" l'indecibililtà di P vs NP come assioma.
A che serve ?
A nulla! Sposteremo il problema al prossimo quesito indecibile.
Non è arricchendo gli assiomi di un sistema formale che si rende il sistema formale più potente. O meglio : possiamo pure farlo ma così perdiamo in coerenza. E la cosa non credo farebbe piacere a molti.
Se operiamo come suggerito dall'autore da te citato, c'è il rischio di far diventare la matematica come il prodotto di una "convenzione": i matematici del mondo si riunioscono e decidono di "adottare" l'indecibililtà di P vs NP come assioma.
A che serve ?
A nulla! Sposteremo il problema al prossimo quesito indecibile.
Non è arricchendo gli assiomi di un sistema formale che si rende il sistema formale più potente. O meglio : possiamo pure farlo ma così perdiamo in coerenza. E la cosa non credo farebbe piacere a molti.
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