Teorema di Pick
Salve a tutti!
Io sono uno studente del liceo e ho trovato una dimostrazione al teorema di pick che secondo me è più semplice di quella di pick stesso. La espongo:
--si parte da un triangolo generico(infatti tutti i poligoni possono essere scomposti in triangoli generici)
--si divide il triangolo unendo tutti i punti di coordinate intere secondo queste regole:
----due linee di divisione non si possono intersecare mai
----si parte unendo con un segmento di lunghezza 1(così si divide il poligono in quadratini + altri triangoli più grossi sui lati)
----si passa ai segmenti lunghi radice di 2(tutta la figura è divisa in triangolini pari alla metà dei quadratini precedenti più dei triangoli con ipotenusa sui lati)
----i triangoli rimasti sui lati vengono divisi con segmenti via via più lunghi(se vi disegnate la figura e seguite questi passi capite) in modo da dividerli in triangoli di base 1 e altzza 1.
obiettivo: dimostrare che qualsiasi triangolo generico può essere scomposto in triangoli senza punti interni o sui lati
per questi triangolini la formula è verificata infatti A = I + 1/2B - 1 = 0 + 3/2 - 1 = 1\2
se qualsiasi triangolo può essere scomposto in triangoli di area 1/2 allora a partire da un triangolo di area = 1/2 potrò costruire qualsiasi triangolo mediante l'aggiunta di altri triangoli di area = 1/2. Per fare ciò ho due operazioni possibili:
--aggiungo un triangolo mediante l'aggiunta di un punto esterno (e per questa operazione la formula rimane valida perchè l'areo deve crescere di 1/2 per il triangolo aggiunto)
--attraverso la congiunzione di due punti aggiungo un triangolo di area 1/2(attenzione questa operazione si può fare solo in casi particolari perche la congiunzione di due punti non può attraversare altri punti e non può racchiudere all'interno del poligono altri punti) così un punto che prima era esterno diventa interno, quindi all'area si toglie 1/2 e si aggiunge 1 quindi +1/2 e la formula rimane valida.
per induzione la formula è dimostrata!
Io sono uno studente del liceo e ho trovato una dimostrazione al teorema di pick che secondo me è più semplice di quella di pick stesso. La espongo:
--si parte da un triangolo generico(infatti tutti i poligoni possono essere scomposti in triangoli generici)
--si divide il triangolo unendo tutti i punti di coordinate intere secondo queste regole:
----due linee di divisione non si possono intersecare mai
----si parte unendo con un segmento di lunghezza 1(così si divide il poligono in quadratini + altri triangoli più grossi sui lati)
----si passa ai segmenti lunghi radice di 2(tutta la figura è divisa in triangolini pari alla metà dei quadratini precedenti più dei triangoli con ipotenusa sui lati)
----i triangoli rimasti sui lati vengono divisi con segmenti via via più lunghi(se vi disegnate la figura e seguite questi passi capite) in modo da dividerli in triangoli di base 1 e altzza 1.
obiettivo: dimostrare che qualsiasi triangolo generico può essere scomposto in triangoli senza punti interni o sui lati
per questi triangolini la formula è verificata infatti A = I + 1/2B - 1 = 0 + 3/2 - 1 = 1\2
se qualsiasi triangolo può essere scomposto in triangoli di area 1/2 allora a partire da un triangolo di area = 1/2 potrò costruire qualsiasi triangolo mediante l'aggiunta di altri triangoli di area = 1/2. Per fare ciò ho due operazioni possibili:
--aggiungo un triangolo mediante l'aggiunta di un punto esterno (e per questa operazione la formula rimane valida perchè l'areo deve crescere di 1/2 per il triangolo aggiunto)
--attraverso la congiunzione di due punti aggiungo un triangolo di area 1/2(attenzione questa operazione si può fare solo in casi particolari perche la congiunzione di due punti non può attraversare altri punti e non può racchiudere all'interno del poligono altri punti) così un punto che prima era esterno diventa interno, quindi all'area si toglie 1/2 e si aggiunge 1 quindi +1/2 e la formula rimane valida.
per induzione la formula è dimostrata!
Risposte
Aggiungo questo collegamento, semplice ma completo.
http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/pickteor.htm
http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/pickteor.htm
io posso assicurare di averla fatta io però non so se esisteva già anche xkè faccio solo terza liceo e questo è fuori dal mio programma scolastico.
E' una tua dimostrazione o l'hai trovata?
Io so che esiste più di una dimostrazione del teorema di Pick, sebbene ne ricordi solo una.
Io so che esiste più di una dimostrazione del teorema di Pick, sebbene ne ricordi solo una.
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