Teorema del coseno
L’anno scorso, dopo aver studiato le funzioni seno e coseno per calcolare le componenti di una forza, mi è venuta una curiosità: esiste un modo per conoscere il terzo lato di un triangolo qualsiasi conoscendo i due lati e l’angolo che essi formano?
L’anno scorso frequentavo il I LS PNI e sconoscevo l’esistenza di questo teorema.
Solo oggi so che esiste e si chiama teorema di Carnot.
Invece l’anno scorso ho trovato questo:
Considerando il triangolo HBC
Per il teorema di Pitagora
BC^2=BH^2+(AC-AH)^2
sapendo che:
BH=AB*sin(alfa)
e
(AC-AH)=AB*cos(alfa)
sostituendo i valori si ottiene:
BC^2=(AB*sin(alfa))^2+(AC-AB*cos(alfa))^2
semplificando:
BC^2=AB^2*sin(alfa)^2+AC^2-2*AC*AB*cos(alfa)+AB^2*cos(alfa)^2
siccome AB^2*sin(alfa)^2+AB^2*cos(alfa)^2=AB^2*(sin(alfa)^2+cos(alfa)^2)=AB^2
BC^2=AB^2+BC^2-2*AC*AB*cos(alfa)
che è uguale al Teorema di Carnot. Che ne pensate?
Giovanni.
Modificato da - Giovanni il 18/10/2003 16:15:54
Modificato da - Giovanni il 18/10/2003 16:32:08
L’anno scorso frequentavo il I LS PNI e sconoscevo l’esistenza di questo teorema.
Solo oggi so che esiste e si chiama teorema di Carnot.
Invece l’anno scorso ho trovato questo:
Considerando il triangolo HBC
Per il teorema di Pitagora
BC^2=BH^2+(AC-AH)^2
sapendo che:
BH=AB*sin(alfa)
e
(AC-AH)=AB*cos(alfa)
sostituendo i valori si ottiene:
BC^2=(AB*sin(alfa))^2+(AC-AB*cos(alfa))^2
semplificando:
BC^2=AB^2*sin(alfa)^2+AC^2-2*AC*AB*cos(alfa)+AB^2*cos(alfa)^2
siccome AB^2*sin(alfa)^2+AB^2*cos(alfa)^2=AB^2*(sin(alfa)^2+cos(alfa)^2)=AB^2
BC^2=AB^2+BC^2-2*AC*AB*cos(alfa)
che è uguale al Teorema di Carnot. Che ne pensate?
Giovanni.
Modificato da - Giovanni il 18/10/2003 16:15:54
Modificato da - Giovanni il 18/10/2003 16:32:08
Risposte
Il triangolo in questione non è rettangolo.
io applico Pitagora per il triangolo BHC rettangolo in H perchè BH è altezza. Ieri l'ho scritta in fretta, vediamo se riesco a correggere tutto.
Considerando il triangolo HBC
Per il teorema di Pitagora
BC^2=BH^2+(AC-AH)^2
sapendo che:
BH=AB*sin(alfa)
e
(AC-AH)=AC-AB*cos(alfa)
sostituendo i valori si ottiene:
BC^2=(AB*sin(alfa))^2+(AC-AB*cos(alfa))^2
semplificando:
BC^2=AB^2*sin(alfa)^2+AC^2-2*AC*AB*cos(alfa)+AB^2*cos(alfa)^2
siccome AB^2*sin(alfa)^2+AB^2*cos(alfa)^2=AB^2*(sin(alfa)^2+cos(alfa)^2)=AB^2
BC^2=AB^2+AC^2-2*AC*AB*cos(alfa)
Grazie a tutti per i complimenti.
Ho voluto postarla perchè le dimostrazioni che ho visto in rete erano diverse. Non so ancora quando (non sarà un tempo molto lontano) posterò qualche altra curiosità.
Giovanni.
io applico Pitagora per il triangolo BHC rettangolo in H perchè BH è altezza. Ieri l'ho scritta in fretta, vediamo se riesco a correggere tutto.
Considerando il triangolo HBC
Per il teorema di Pitagora
BC^2=BH^2+(AC-AH)^2
sapendo che:
BH=AB*sin(alfa)
e
(AC-AH)=AC-AB*cos(alfa)
sostituendo i valori si ottiene:
BC^2=(AB*sin(alfa))^2+(AC-AB*cos(alfa))^2
semplificando:
BC^2=AB^2*sin(alfa)^2+AC^2-2*AC*AB*cos(alfa)+AB^2*cos(alfa)^2
siccome AB^2*sin(alfa)^2+AB^2*cos(alfa)^2=AB^2*(sin(alfa)^2+cos(alfa)^2)=AB^2
BC^2=AB^2+AC^2-2*AC*AB*cos(alfa)
Grazie a tutti per i complimenti.
Ho voluto postarla perchè le dimostrazioni che ho visto in rete erano diverse. Non so ancora quando (non sarà un tempo molto lontano) posterò qualche altra curiosità.
Giovanni.
Scusa, Giovanni:
già era sporchetta la tua
(AC-AH)=AB*cos(alfa)
e ti avevamo segnalato che pareva senza conseguenze.
Ora noto la tua finale
BC^2=AB^2+BC^2-2*AC*AB*cos(alfa)
con il BC^2 eliminabile da ambo i membri.
Tutti sembrano averla capita, ma, comunque, potresti ripulire il testo? La dimostrazione è bella.
tony
P.S. per il vecchio:
il triangolo rettangolo a cui Giovanni applica il teorema di Euclide/Pitagora non è IL triangolo in questione, che *pare* rettangolo nella figura, ma è del tutto generico.
D'accordo?
*Edited by - tony on 19/10/2003 06:09:17
già era sporchetta la tua
(AC-AH)=AB*cos(alfa)
e ti avevamo segnalato che pareva senza conseguenze.
Ora noto la tua finale
BC^2=AB^2+BC^2-2*AC*AB*cos(alfa)
con il BC^2 eliminabile da ambo i membri.
Tutti sembrano averla capita, ma, comunque, potresti ripulire il testo? La dimostrazione è bella.
tony
P.S. per il vecchio:
il triangolo rettangolo a cui Giovanni applica il teorema di Euclide/Pitagora non è IL triangolo in questione, che *pare* rettangolo nella figura, ma è del tutto generico.
D'accordo?
*Edited by - tony on 19/10/2003 06:09:17
forse non mi sono spiegato bene...il teorema di Carnot è dimostrabile per qualsiasi triangolo, ma Giovanni, utilizzando nella sua dimostrazione il teorema di Euclide, rende la sua dimostrazione limitata ad un triangolo rettangolo. infatti i teoremi di Euclide valgono solo nei triangoli rettangoli.
ora concordi con me?
spero di essere stato chiaro..
ciao
il vecchio
ora concordi con me?
spero di essere stato chiaro..
ciao
il vecchio
Perchè dici che è dimostrato solo per il triangolo rettangolo?
ciao
Camillo
ciao
Camillo
ah bè se è per quello temo che un po' tutti in questo forum abbiamo qualche problemino...
ti ho già mandato la mia ricerca sui poligoni? mi sono inventato una formula assurda!!!!è veramente brutta...ma mi sa che te l'ho già mandata no?fammi sapere in caso te la mando..
hai già visto la sezione giochi e gara? ho fatto il fenomeno!!ti vorrei far notare tutte le immagini che ho messo, bravo eh?
ancora non sono in trasparenza, ma forse col tempo...
invece ho scoperto che non posso inserire nei post una pagina creata interamente con MathType (compreso il testo), viene visualizzata solo una lunga strisciata nera verticale...bo, cmq ho rimediato...
vai a vedere...mi sono pure un po' alterato!!!ma ora è passata...
ciao!!!
il vecchio
il vecchio
ti ho già mandato la mia ricerca sui poligoni? mi sono inventato una formula assurda!!!!è veramente brutta...ma mi sa che te l'ho già mandata no?fammi sapere in caso te la mando..
hai già visto la sezione giochi e gara? ho fatto il fenomeno!!ti vorrei far notare tutte le immagini che ho messo, bravo eh?
ancora non sono in trasparenza, ma forse col tempo...
invece ho scoperto che non posso inserire nei post una pagina creata interamente con MathType (compreso il testo), viene visualizzata solo una lunga strisciata nera verticale...bo, cmq ho rimediato...
vai a vedere...mi sono pure un po' alterato!!!ma ora è passata...
ciao!!!
il vecchio
il vecchio
Ehh, vedi Andrea, non sono il solo ad "avere problemi" 
!!!
Ciao!!
!!!Ciao!!
ciao!!! non leggo tutti passaggi già controllati sicuramente bene da Fireball, complimenti per la tua curiosità e per il tuo "teorema", ma non è proprio uguale a quello di Carnot...il tuo infatti l'hai dimostrato solo per un particolare triangolo, quello rettangolo...la forza invece del teorema di Carnot (sebbene mi sia estremamente antipatico) è che vale per ogni triangolo!!! cmq complimenti lo stesso.
inoltre una piccola precisazione: il teorema che usi all'inizio, non è il teorema di Pitagora, ma il primo teorema di Euclide!!!...lapsus immagino...capita anche ai migliori..
ciao
il vecchio
inoltre una piccola precisazione: il teorema che usi all'inizio, non è il teorema di Pitagora, ma il primo teorema di Euclide!!!...lapsus immagino...capita anche ai migliori..
ciao
il vecchio
Giovanni, non è AC-AH = AB*cos(alfa), ma è AH = AB*cos(alfa)...
Dovrebbe essere solo un lapsus, perché il resto mi sembra corretto !!
Dovrebbe essere solo un lapsus, perché il resto mi sembra corretto
!!
giovanni,
ti seguo fino al tuo
"(AC-AH)=AB*cos(alfa)"
che non mi pare corretto;
non ho proseguito.
quel che segue ne viene influenzato?
*ERRATA CORRIGE*
la frase
" non ho proseguito. quel che segue ne viene influenzato? "
va cambiata in
"anche se non pare che quel che segue ne venga influenzato"
*FINE ERRATA CORRIGE*
tony
*Edited by - tony on 18/10/2003 18:14:36
ti seguo fino al tuo
"(AC-AH)=AB*cos(alfa)"
che non mi pare corretto;
non ho proseguito.
quel che segue ne viene influenzato?
*ERRATA CORRIGE*
la frase
" non ho proseguito. quel che segue ne viene influenzato? "
va cambiata in
"anche se non pare che quel che segue ne venga influenzato"
*FINE ERRATA CORRIGE*
tony
*Edited by - tony on 18/10/2003 18:14:36
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