Teorema binomiale
DEvo studiare la dimostrazione per induzione di questo teorema..non riesco però a scrivere il coefficiente binomiale nelle formule..sapete come si fa?perkè spiegare a parole è un po' dura..grazie
Risposte
Ma come non ci sono più?!? Stanno dentro la sommatoria... 
Insomma la dimostrazione del passo induttivo è la seguente catena d'uguaglianze:
$(a+b)^(n+1)=(a+b)*(a+b)^n$
$\quad \quad =(a+b)*(\sum_(k=0)^n ((n),(k)) a^(n-k)b^k)$
$\quad \quad =\sum_(k=0)^n ((n),(k)) a^(n+1-k)b^k+\sum_(k=0)^n ((n),(k)) a^(n-k)b^(k+1)$
$\quad \quad =((n),(0)) a^(n+1) +\sum_(k=1)^n ((n),(k)) a^(n+1-k)b^k+\sum_(k=0)^(n-1) ((n),(k)) a^(n-k)b^(k+1)+((n),(n))b^(n+1)$
$\quad \quad =((n+1),(0)) a^(n+1)+\sum_(k=1)^n ((n),(k)) a^(n+1-k)b^k+\sum_(k=1)^n ((n),(k-1)) a^(n+1-k)b^k+((n+1),(n+1))b^(n+1)$
$\quad \quad =((n+1),(0)) a^(n+1)+\sum_(k=1)^n ((n+1),(k))a^(n+1-k)b^k+((n+1),(n+1))b^(n+1)$
$\quad \quad =\sum_(k=0)^(n+1) ((n+1),(k))a^(n+1-k)b^k$
in cui gli unici passaggi "strani" sono il cambiamento di variabile dal 5° al 6° membro e l'applicazione delle proprietà dei coefficienti binomiali per passare dal 6° al 7° membro.
Insomma la dimostrazione del passo induttivo è la seguente catena d'uguaglianze:
$(a+b)^(n+1)=(a+b)*(a+b)^n$
$\quad \quad =(a+b)*(\sum_(k=0)^n ((n),(k)) a^(n-k)b^k)$
$\quad \quad =\sum_(k=0)^n ((n),(k)) a^(n+1-k)b^k+\sum_(k=0)^n ((n),(k)) a^(n-k)b^(k+1)$
$\quad \quad =((n),(0)) a^(n+1) +\sum_(k=1)^n ((n),(k)) a^(n+1-k)b^k+\sum_(k=0)^(n-1) ((n),(k)) a^(n-k)b^(k+1)+((n),(n))b^(n+1)$
$\quad \quad =((n+1),(0)) a^(n+1)+\sum_(k=1)^n ((n),(k)) a^(n+1-k)b^k+\sum_(k=1)^n ((n),(k-1)) a^(n+1-k)b^k+((n+1),(n+1))b^(n+1)$
$\quad \quad =((n+1),(0)) a^(n+1)+\sum_(k=1)^n ((n+1),(k))a^(n+1-k)b^k+((n+1),(n+1))b^(n+1)$
$\quad \quad =\sum_(k=0)^(n+1) ((n+1),(k))a^(n+1-k)b^k$
in cui gli unici passaggi "strani" sono il cambiamento di variabile dal 5° al 6° membro e l'applicazione delle proprietà dei coefficienti binomiali per passare dal 6° al 7° membro.
"Gugo82":
Ma mica si devono annullare?
Tu devi mostrare che $(a+b)^(n+1)=\sum_(k=0)^(n+1) ((n+1),(k)) a^(n+1-k)b^(k)$ ed in tale espressione i monomi $a^(n+1),b^(n+1)$ ci sono con coefficiente $1$.
scusami davvero ma non capire la dimostrazione per l'ultimo passaggio non è il massimo
io da questo passaggio..
$((n),(0)) a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\((n+1),(k)) a^{n+1-k}b^{k}+ ((n),(n)) b^{n+1}$
a questo
$\sum_(k=0)^(n+1) ((n+1),(k)) a^(n+1-k)b^(k)$
noto che la sommatoria è stata portata da $k=1$ a $k=0$..e che $a^(n+1),b^(n+1)$ non ci sono più..se il coefficiente fosse $1$ dovrebbero esserci..
scusa ancora e grazie..
Ma mica si devono annullare?
Tu devi mostrare che $(a+b)^(n+1)=\sum_(k=0)^(n+1) ((n+1),(k)) a^(n+1-k)b^(k)$ ed in tale espressione i monomi $a^(n+1),b^(n+1)$ ci sono con coefficiente $1$.
Tu devi mostrare che $(a+b)^(n+1)=\sum_(k=0)^(n+1) ((n+1),(k)) a^(n+1-k)b^(k)$ ed in tale espressione i monomi $a^(n+1),b^(n+1)$ ci sono con coefficiente $1$.
"Gugo82":
C'è qualcosa che non mi è chiaro...
Non vedo perchè ti ritrovi i coefficienti $((n),(0)),((n),(n))$, visto che per terminare la dimostrazione sarebbe stato più utile sostituire il pleonastico $1$ (che si presenta come coefficiente di $a^(n+1)$ e $b^(n+1)$) con $((n+1),(0)),((n+1),(n+1))$.
è proprio questo che non capisco
anche se sostituisco $((n),(0)),((n),(n))$ con $((n+1),(0)),((n+1),(n+1))$ che posso farlo perché il risultato è sempre 1 vero?
ma in ogni caso come si annullano $a^(n+1)$ e $b^(n+1)$??
C'è qualcosa che non mi è chiaro...
Non vedo perchè ti ritrovi i coefficienti $((n),(0)),((n),(n))$, visto che per terminare la dimostrazione sarebbe stato più utile sostituire il pleonastico $1$ (che si presenta come coefficiente di $a^(n+1)$ e $b^(n+1)$) con $((n+1),(0)),((n+1),(n+1))$.
Non vedo perchè ti ritrovi i coefficienti $((n),(0)),((n),(n))$, visto che per terminare la dimostrazione sarebbe stato più utile sostituire il pleonastico $1$ (che si presenta come coefficiente di $a^(n+1)$ e $b^(n+1)$) con $((n+1),(0)),((n+1),(n+1))$.
"irenze":
[quote="claudio345"]ora sposta la sommatoria da $k=0$ a $k=1$ quindi dove c'è $k$ sottrae di uno..ma dove c'è $a^{n+1-k}$ non dovrebbe esserci $a^{n-1-k}$
$n-(k-1) = n+1-k$[/quote]
grazie...certo che ieri ero proprio esausto
L'ultimissima cosa..
ora siamo al punto in cui
$((n),(0)) a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\((n+1),(k)) a^{n+1-k}b^{k}+ ((n),(n)) b^{n+1}$
$((n),(0))$ e $((n),(n))$ risultano entrambi 1 per le proprietà...
ma come fanno ad annullarsi $a^{n+1}$ e $b^{n+1}$ così da lasciare solo la sommatoria che conferma la tesi??
"claudio345":
ora sposta la sommatoria da $k=0$ a $k=1$ quindi dove c'è $k$ sottrae di uno..ma dove c'è $a^{n+1-k}$ non dovrebbe esserci $a^{n-1-k}$
$n-(k-1) = n+1-k$
"Gugo82":
Se intendi nelle formule sul forum, si fa così:
\$ ((n),(k)) \$
e produce $((n),(k))$.
Se intendi in LaTeX, mi pare ci sia un comando apposito (forse \binom{n}{k}?).
Grazie Gugo..
al posto di cercare su altri post sarebbe bastato aspettare la tua risposta...!!
GRazie per la risposta..ho trovato come si scrive il coefficiente binomiale in un altro post..
Come ho detto prima devo studiare questa dimostrazione per induzione, e lo sto facendo seguendo quella su wikipedia ma gli ultimi passaggi non mi sono per niente chiari. si arriva a un punto in cui..
$((n),(0)) a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}((n+1),(k+1)) a^{n-k}b^{k+1}+ ((n),(n)) b^{n+1}$
ora sposta la sommatoria da $k=0$ a $k=1$ quindi dove c'è $k$ sottrae di uno..ma dove c'è $a^{n+1-k}$ non dovrebbe esserci $a^{n-1-k}$
$((n),(0)) a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,((n+1),(k)) a^{n+1-k}b^{k}+ ((n),(n)) b^{n+1}$
andando avanti capisco che per le proprietà binomiali
$((n),(0)) = 1$ e $((n),(n))=1 $
ma non capisco cmq come fa a verificare l'uguaglianza..spero di essere stato chiaro..
Come ho detto prima devo studiare questa dimostrazione per induzione, e lo sto facendo seguendo quella su wikipedia ma gli ultimi passaggi non mi sono per niente chiari. si arriva a un punto in cui..
$((n),(0)) a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}((n+1),(k+1)) a^{n-k}b^{k+1}+ ((n),(n)) b^{n+1}$
ora sposta la sommatoria da $k=0$ a $k=1$ quindi dove c'è $k$ sottrae di uno..ma dove c'è $a^{n+1-k}$ non dovrebbe esserci $a^{n-1-k}$
$((n),(0)) a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,((n+1),(k)) a^{n+1-k}b^{k}+ ((n),(n)) b^{n+1}$
andando avanti capisco che per le proprietà binomiali
$((n),(0)) = 1$ e $((n),(n))=1 $
ma non capisco cmq come fa a verificare l'uguaglianza..spero di essere stato chiaro..
Se intendi nelle formule sul forum, si fa così:
e produce $((n),(k))$.
Se intendi in LaTeX, mi pare ci sia un comando apposito (forse \binom{n}{k}?).
\$ ((n),(k)) \$
e produce $((n),(k))$.
Se intendi in LaTeX, mi pare ci sia un comando apposito (forse \binom{n}{k}?).
Ciao, le formule sono identificate dal sistema attarverso il carattere \$.
Quindi, se vuoi scrivere una formula, devi inserire il contenuto della formula tra due caratteri \$.
Ad esempio: $z=4/5$ si scrive così: \$z=4/5\$.
Per informazioni più dettagliate, leggi qui.
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