Tdn

[ElementareWatson]

Ciao, ho letto il libro di Du Sautoy sull’ipotesi di riemann, non ci ho capito gran che a conti fatti, ma mi ha gasato tantissimo. Ho cercato su internet argomenti di tdn e ho visto che la teoria dei numeri geometrica si chiama anche geometria aritmetica, ecco vorrei capire bene di cosa si occupa questo tipo di geometria e che legami ha con i numeri interi, magari anche qualche consiglio di un libro divulgativo in merito o un libro di testo che sia di primo approccio, grazie.

[hydro1]

"dan95":@hydro

La ricerca per me è come gli scacchi e in questo caso Tao è paragonabile a Carlsen. Un GM conosce perfettamente le aperture, conosce molto bene il medio-gioco e ha famigliarità con il finale ma a volte in una di queste due fasi del gioco gli sfugge qualcosa... E proprio come succede al campione del mondo (ormai ex per rinuncia) può accadere anche a Tao. Sappiamo tutti che ormai nessun matematico può avere una conoscenza enciclopedica della matematica alla Poincaré, poiché questo è impossibile visto la mole di scoperte e articoli che vengono pubblicato ogni anno...

Certamente, infatti la possibilità che tecniche esistenti ma distanti dalla teoria dei numeri possano venire impiegate in questa portando a grossi avanzamenti è un'eventualità plausibile. Per esempio è successo con la teoria dell'o-minimalità. Al di là di questo poi tutto è possibile, dico solo che nella storia della matematica non è mai successo che tanti matematici abbiano usato la tecnica x per risolvere il problema y senza successo e poi sia spuntato qualcuno a dire "ma no, state semplicemente usando x nel modo sbagliato". In genere succede proprio il contrario, ovvero ci si rende conto che x non basterà mai a provare y. Ad esempio per tanti anni la gente è stata convinta che la strategia di Kummer fosse giusta per provare l'ultimo teorema di Fermat, bastava solo provare che \(\mathbb Z[\zeta_p]\) è un PID per ogni $p$, ma poi qualcuno si accorse che questo è semplicemente falso.

[dan952]

@hydro

La ricerca per me è come gli scacchi e in questo caso Tao è paragonabile a Carlsen. Un GM conosce perfettamente le aperture, conosce molto bene il medio-gioco e ha famigliarità con il finale ma a volte in una di queste due fasi del gioco gli sfugge qualcosa... E proprio come succede al campione del mondo (ormai ex per rinuncia) può accadere anche a Tao. Sappiamo tutti che ormai nessun matematico può avere una conoscenza enciclopedica della matematica alla Poincaré, poiché questo è impossibile visto la mole di scoperte e articoli che vengono pubblicato ogni anno...

[hydro1]

"ElementareWatson":Come fanno a saperlo questo? Avere più strumenti è sempre utile, ma non capisco cosa fa dire ai matematici questa strada non può risolvere il problema, come fanno ad avere una padronanza di un problema ancora non risolto problema così forte? (ci sono pure quelli che fanno congetture, che quasi la stessa cosa) Ma a me non è mai capitato di riuscire a dire questo problema che non conosco non si può risolvere con solo questi strumenti, cioè dovrei dimostrarlo

Quando usi tanto un determinato strumento hai una visione (più o meno buona, a seconda di quanto bravo sei e di quanta esperienza hai) di dove puoi arrivare usandolo, perchè capisci qual è il tipo di informazione che ti viene fornita. Ora nello specifico non so quali siano i limiti perchè la teoria analitica dei numeri non è il mio campo, ma mi fido di quel che dicono gli esperti perchè ritrovo lo stesso fenomeno nel mio piccolo: anch'io spesso capisco se un problema è alla portata dei metodi che conosco o no, anche senza provare a risolverlo. Ovviamente si può polemizzare dicendo che finchè non hai dimostrato che non puoi risolvere il problema x con il metodo y allora non puoi dire che non si possa fare eccetra eccetra, ma la realtà dei fatti è diversa, basta (soprattutto ai mostri sacri tipo Tao, Maynard e compagnia) la sensibilità a farti capire che non è il caso di sprecare tempo ulteriore.

"dan95":A volte però è anche possibile avere un potente telescopio puntato nella direzione sbagliata.

Questa è una metafora simpatica ma è lontana dalla realtà dei fatti. Chi lavora bene ha talmente tanta confidenza con i metodi che usa che la possibilità che stiano venendo usati male non sussiste, soprattutto se si parla di problemi celebri come i primi gemelli e Riemann perchè c'è tantissima gente che ci lavora intorno. Tant'è vero che non è mai successo nella storia della matematica moderna: tutti i grandi passi avanti hanno richiesto lo sviluppo di tecnologia nuova, mai il riutilizzo di quella vecchia in modi impensati.

[dan952]

A volte però è anche possibile avere un potente telescopio puntato nella direzione sbagliata.

[ElementareWatson]

Come fanno a saperlo questo? Avere più strumenti è sempre utile, ma non capisco cosa fa dire ai matematici questa strada non può risolvere il problema, come fanno ad avere una padronanza di un problema ancora non risolto problema così forte? (ci sono pure quelli che fanno congetture, che quasi la stessa cosa) Ma a me non è mai capitato di riuscire a dire questo problema che non conosco non si può risolvere con solo questi strumenti, cioè dovrei dimostrarlo

[hydro1]

"ElementareWatson":In che senso limiti intrinsechi?

Nel senso che anche spingendo al limite gli strumenti che esistono e anche dimostrando qualche altra congettura, si arriverebbe a trovare che ci sono infinite coppie di primi a distanza al più $6$. Per arrivare a $2$ c'è bisogno di tecnologia nuova.

[ElementareWatson]

In che senso limiti intrinsechi?

[hydro1]

"ElementareWatson":parlando sempre di problemoni, la congettura dei primi gemelli è promettente ho letto

Idem come sopra. Credo ci fosse proprio un post di Tao dove spiegava come i metodi attuali hanno proprio dei limiti intrinseci per cui non ci si può aspettare di arrivare ai primi gemelli. La differenza con l'ipotesi di Riemann è che mentre su questa si brancola nel buio da 150 anni, per i primi gemelli c'è stato un enorme breakthrough "nella direzione giusta" nel 2013.

[ElementareWatson]

parlando sempre di problemoni, la congettura dei primi gemelli è promettente ho letto

[otta96]

Un problema del millennio è già stato risolto, dunque statisticamente dovremmo aspettare 200 anni per il prossimo e solo in $1$ caso su $6$ sarà l'ipotesi di Riemann.

[hydro1]

"dan95":Sono ottimista credo che a breve verrà dimostrata

Con le tecnologie attuali, non credo proprio. Se spunta fuori qualcuno con un'idea rivoluzionaria, forse sì, ma non ci sono motivi per supporre che succederà a breve.

[dan952]

Sono ottimista credo che a breve verrà dimostrata

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"hydro":Non credo che gli esperti del settore ritengano di essere sulla buona strada. E' da più di un secolo che vengono proposti approcci nuovi, ma l'entusiasmo fa presto a passare...

Giusto per citare Terence Tao alla domanda "Stai cercando di risolvere l'ipotesi di Riemann?"

You know you can't really call your shots in mathematics. Some problems, the tools are not there. It doesn't matter how smart or quick you are. The analogy I have is like climbing, if you want to climb a cliff that's 10 high you can probably do it with the right tools and equipment, but you know if it's a sheer cliff face, you know, a mile high and there's no handholds whatsoever, you know just forget it. It doesn't matter how strong you are or whatever, you have to wait until there's some sort of breakthrough, like some opening occurs like halfway through halfway up the cliff and now you have some easier sub-goal. You know there's some speculation, there's some possible ways to attack the conjecture, but nothing is really promising currently.

"ElementareWatson":

[quote="dan95"] $ \Lambda \geq 0 $ (Terence Tao e Rodgers). Chiaramente per dimostrare l'ipotesi di Riemann è sufficiente verificare che $ H_0(z) $ non ha zeri reali ovvero che $ \Lambda \leq 0 $.

Non capisco, quindi si è vicini alla sua soluzione?[/quote]

"dan95":
Diciamo che stiamo sulla buona strada, non mi viene da dire sulla giusta via, tuttavia questo approccio ha dato tante soddisfazioni fino adesso... e poi se lo segue Terry...

Sempre citando Terence Tao nel suo blog https://terrytao.wordpress.com/2018/01/19/the-de-bruijn-newman-constant-is-non-negativ/ dice:

The following analogy (involving functions with just two zeroes, rather than an infinite number of zeroes) may help clarify the relation between this result and the Riemann hypothesis (and in particular why this result does not make the Riemann hypothesis any easier to prove, in fact it confirms the delicate nature of that hypothesis). Suppose one had a quadratic polynomial \(P\) of the form \(P(z)=z^2+ \Lambda \), where \( \Lambda \) was an unknown real constant. Suppose that one was for some reason interested in the analogue of the “Riemann hypothesis” for \(P\), namely that all the zeroes of \(P\) are real. A priori, there are three scenarios:

- (Riemann hypothesis false) \( \Lambda > 0 \), and \(P\) has zeroes \( \pm i \left| \Lambda \right|^{1/2} \) off the real axis.
- (Riemann hypothesis true, but barely so) \(\Lambda = 0 \), and both zeros of \(P\) are on the real axis; however, any slight perturbation of \( \Lambda \) in the positive direction would move zeroes off the real axis.
- (Riemann hypothesis true, with room to spare) \( \Lambda < 0 \), and both zeroes of \(P\) are on the real axis. Furthermore, any slight perturbation of \(P\) will also have both zeroes on the real axis.

The analogue of our result in this case is that \( \Lambda \geq 0 \), thus ruling out the third of the three scenarios here. In this simple example in which only two zeroes are involved, one can think of the inequality \( \Lambda \geq 0 \) as asserting that if the zeroes of \(P\) are real, then they must be repeated. In our result (in which there are an infinity of zeroes, that become increasingly dense near infinity), and in view of the convergence to local equilibrium properties of (3), the analogous assertion is that if the zeroes of \(H_0\) are real, then they do not behave locally as if they were in arithmetic progression.

[hydro1]

"ElementareWatson":Se si risolvesse l’ipotesi di Riemann si avrebbe una comprensione mai avuta sui numeri primi, in teoria sarebbe tipo il teorema centrale della matematica o sbaglio?

Con una prova dell’ipotesi di Riemann, come ti ha detto dan95, seguirebbero automaticamente molte altre prove di fatti abbastanza profondi e a volte anche famosi, tipo la congettura di Artin sui generatori modulo $p$. Però di lì a dire che sarebbe il teorema più importante della matematica ne passa, ci sono grandi aree che non hanno nulla a che vedere con l’ipotesi di Riemann. Certamente è il problema aperto più celebre, e senza dubbio uno dei più importanti. Ma ci sono anche la congettura abc, il programma di Langlands, eccetra.

[dan952]

Ti dico solo che c'è una buona parte della matematica che si fonda sull'ipotesi che la congettura di Riemann sia vera, molti teoremi infatti si dimostrano assumendo per vera quest'ultima.

[ElementareWatson]

Se si risolvesse l’ipotesi di Riemann si avrebbe una comprensione mai avuta sui numeri primi, in teoria sarebbe tipo il teorema centrale della matematica o sbaglio?

[dan952]

@hydro

Tra un po' si convinceranno del contrario...

[hydro1]

Non credo che gli esperti del settore ritengano di essere sulla buona strada. E' da più di un secolo che vengono proposti approcci nuovi, ma l'entusiasmo fa presto a passare...

[dan952]

"ElementareWatson":Non capisco, quindi si è vicini alla sua soluzione?

Diciamo che stiamo sulla buona strada, non mi viene da dire sulla giusta via, tuttavia questo approccio ha dato tante soddisfazioni fino adesso... e poi se lo segue Terry...

[ElementareWatson]

"hydro":Comunque l'ipotesi di Riemann è un problema di analisi più che geometria aritmetica

Lo so, solo che per me viene naturale pensare che si studino i numeri interi con l’algebra, come pure con l’analisi anche se un po’ meno, il fatto che venga fatto con la geometria è bellissimo per me.

"dan95": Bellissimo libro, mi fece avvicinare alla matematica.

Anche a me è piaciuto molto.

"dan95": $ \Lambda \geq 0 $ (Terence Tao e Rodgers). Chiaramente per dimostrare l'ipotesi di Riemann è sufficiente verificare che $ H_0(z) $ non ha zeri reali ovvero che $ \Lambda \leq 0 $.

Non capisco, quindi si è vicini alla sua soluzione?