Sui rudimenti matematici

[e_qwfwq]

Salve a tutti, dopo lungo tempo di assenza..

Torno con una domanda tediosa che spero non vada a far doppione con altre già poste.
La domanda:

Ma perchè (+)*(+)=(+)
e peggio ancora (+)*(-)=(-)
e peggio ancora (-)*(-)=(+) ????

sono io stesso sconcertanto dalla banalità della questione.. ma l'unica spiegazione che ho mai sentito sull'argomento è stata quella del mio prof di analisi 1:
"l'amico del mio amico è mio amico. l'amico del mio nemico è mio nemico. il nemico del mio nemico è mio amico."
Per quanto simpatica mi sembra pecchi un po' di rigore..

[gugo82]

"e_qwfwq":Ma perchè (+)*(+)=(+)
e peggio ancora (+)*(-)=(-)
e peggio ancora (-)*(-)=(+) ????

Perchè si prende $NN$ come ordinamento* di $ZZ$ e, di conseguenza, si dimostra valida la Regola dei Segni.
Ovviamente, costruendo $QQ$ da $ZZ$ ed $RR$ da $QQ$, si cerca di conservare la struttura algebrica e quella d'ordine totale: perciò la Regola dei Segni vale pure in $QQ$ ed $RR$.
Andando avanti, ossia costruendo $CC$ da $RR$, si perde ogni possibilità di ordinare totalmente in maniera compatibile con la struttura algebrica: quindi non possiamo ordinare in un modo "fruttuoso" il campo complesso (ciò in sostanza dipende dal fatto che $i^2=-1$).



___________
*Un ordinamento su $ZZ$ (o su un anello commutativo $A$) è una parte non vuota $P subseteq ZZ$ che gode delle seguenti proprietà: 1) $ZZ=Pcup{0}cup(-P)$ (nel caso generale $A=Pcup{0}cup(-P)$) e 2) $AA x,y in P, quad x+y, x*y in P$. Si dimostra che la scelta di un ordinamento $P$ equivale alla scelta di una relazione d'ordine totale $le$ rispetto alla quale l'insieme $P$ coincide con l'insieme dei numeri positivi (nel senso che $x in P hArr 0 le x " e " x!=0$).

[Luca.Lussardi]

E' una definizione; sul perchè si scelga proprio questa invece di altre ci sono vari motivi, tra cui quello della necessità di estendere le note proprietà delle operazioni tra numeri naturali anche ai numeri interi (associativa, distributiva, ecc...)