Successione iterativa
Salve a tutti! ho scoperto una sorta di "successione" anzi, più che successione è un gioco ricorsivo che non è stato anchra dimostrato da quanto so:
allora scegliete un numero, se è dispari aggiungere 1 e se pari dividere sempre per 2.
vi faccio un esempio:
scelgo 15, è dispari quindi devo aggiungere 1 ed ho cosi 16, ovvero un numero pari, che devo dividere sempre per 2:
$16:2=8$ di nuovo pari e divido di nuovo per 2 $8:2=4$ stessa cosa, ancora pari $4:2=2$ ancora pari $2:2=1$ di nuovo dispari, aggiungo 1 e ottengo di nuovo 2 che siccome è pari devo ridividere per 2. Questo procedimento di ripete all'infinito, e mi ricordo che un professore ci disse che non è stato ancora dimostrato, anche se è evidente la ricorsività del processo. qualcuno lo conosce???
allora scegliete un numero, se è dispari aggiungere 1 e se pari dividere sempre per 2.
vi faccio un esempio:
scelgo 15, è dispari quindi devo aggiungere 1 ed ho cosi 16, ovvero un numero pari, che devo dividere sempre per 2:
$16:2=8$ di nuovo pari e divido di nuovo per 2 $8:2=4$ stessa cosa, ancora pari $4:2=2$ ancora pari $2:2=1$ di nuovo dispari, aggiungo 1 e ottengo di nuovo 2 che siccome è pari devo ridividere per 2. Questo procedimento di ripete all'infinito, e mi ricordo che un professore ci disse che non è stato ancora dimostrato, anche se è evidente la ricorsività del processo. qualcuno lo conosce???
Risposte
la congettura di collatz la conoscevo con il nome di syracusae e in effetti all'inizio mi sembrava strano che ogni numero terminasse con la serie 4-2-1. però secondo me non bisogna pensare che tenda all'infinito perchè non si moltiplica per e divide per due con ordine ma solo quando n è pari o dispari perciò può capitare che un numero sia divisibile varie volte per due tanto da farlo decrescere. perciò anche se non è dimostrata ancora questo ragionamento fa capire che non è detto che la serie tenda all'infinito
si infatti è stranissima come cosa, io conoscevo quel giochino di prima, ma mi ricordavo che ci avevano detto di una congettura irrisolta, non credevo fosse cosi strana però!
Perché è intuitivamente "strano" che moltiplicando numeri per 3, aggiungendoci 1, e poi dividendo per 2, alla fine comunque raggiungi sempre 1, quando la successione sembrerebbe andare inesorabilmente verso l'infinito! (sembrerebbe crescere, e non diminuire)
aaah è uno dei tanti grandi spettacoli che la Matematica ci ha tenuto in serbo!
aaah è uno dei tanti grandi spettacoli che la Matematica ci ha tenuto in serbo!
perfetto, sei stato chiarissimo! non sapevo però dell'esistenza della congettura di collatz! come mai è cosi agghiacciante?
Dunque, sia $a$ un numero naturale.
Se è pari, si procede con la divisione. Supponiamo che sia dispari. Allora $a=2b+1$, con $b$ naturale. Seguendo l'algoritmo, aggiungiamo $1$ si ha dunque $a+1=2b+2$. Sarà ovviamente pari, dividiamolo dunque per $2$ otteniamo $(a+1)/2 = b+1 = a-b < a$. Poniamo $(a+1)/2 = c$. Si può ripetere questo ragionamento con $c$. Ciò significa che i risultati delle divisioni per $2$ danno sempre risultati minori del numero di partenza. Ciò significa che, essendo $N$ un insieme limitato inferiormente, il procedimento arriverà sempre a raggiungere il suo limite inferiore: $1$. E abbiamo verificato che, da quel momento in poi, il procedimento si ripete all'infinito (abbiamo questa successione $1,2,1,2,1,2...$)
Ciò significa che, qualsiasi numero $a$ tu prenda, dopo un certo numero di iterazioni raggiungi il numero $1$, cioè il procedimento è infinito, qualsiasi numero $a$ tu prenda. C.V.D.
Non so se sono stato chiaro nella mia dimostrazione, se c'è qualche dubbio posta.
Se è pari, si procede con la divisione. Supponiamo che sia dispari. Allora $a=2b+1$, con $b$ naturale. Seguendo l'algoritmo, aggiungiamo $1$ si ha dunque $a+1=2b+2$. Sarà ovviamente pari, dividiamolo dunque per $2$ otteniamo $(a+1)/2 = b+1 = a-b < a$. Poniamo $(a+1)/2 = c$. Si può ripetere questo ragionamento con $c$. Ciò significa che i risultati delle divisioni per $2$ danno sempre risultati minori del numero di partenza. Ciò significa che, essendo $N$ un insieme limitato inferiormente, il procedimento arriverà sempre a raggiungere il suo limite inferiore: $1$. E abbiamo verificato che, da quel momento in poi, il procedimento si ripete all'infinito (abbiamo questa successione $1,2,1,2,1,2...$)
Ciò significa che, qualsiasi numero $a$ tu prenda, dopo un certo numero di iterazioni raggiungi il numero $1$, cioè il procedimento è infinito, qualsiasi numero $a$ tu prenda. C.V.D.
Non so se sono stato chiaro nella mia dimostrazione, se c'è qualche dubbio posta.
davvero?? la mia come si dimostrerebbe perchè??
Questa è la cosiddetta "congettura di Collatz", ma modificata.
Infatti, il testo della congettura è: si prenda un numero,
-se è pari, si divida per 2
-se è dispari, si moltiplichi per 3 e si aggiunga 1
-se è 1, l'algoritmo termina
La congettura dice che questo algoritmo arriva SEMPRE a termine (c'è sempre una sequenza che contiene 1). E ciò è molto difficile da dimostrare, dato che sembra... strano che attraverso moltiplicazioni per 3 e divisioni per 2 si arriva sempre a 1...
Infatti la versione scritta da te è facilmente dimostrabile, mentre la vera congettura di Collatz è quasi... agghiacciante!:D
Infatti, il testo della congettura è: si prenda un numero,
-se è pari, si divida per 2
-se è dispari, si moltiplichi per 3 e si aggiunga 1
-se è 1, l'algoritmo termina
La congettura dice che questo algoritmo arriva SEMPRE a termine (c'è sempre una sequenza che contiene 1). E ciò è molto difficile da dimostrare, dato che sembra... strano che attraverso moltiplicazioni per 3 e divisioni per 2 si arriva sempre a 1...
Infatti la versione scritta da te è facilmente dimostrabile, mentre la vera congettura di Collatz è quasi... agghiacciante!:D
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