Sqrt(2)
Potete dimostrarmi perché sqrt(2)
è un numero irrazionale,
con tanto di spiegazione?
Grazie.
è un numero irrazionale,
con tanto di spiegazione?
Grazie.
Risposte
Ecco la dimostrazione che ti dicevo:
Se m è un numero razionale maggiore di 1 tale che m²<2, allora esistono numeri razionali positivi h tali che (m+h)²<2. Ciò sta ad affermare che posso trovare sempre un numero razionale più grande di qullo che ho già trovato, ma minore di radq(2).
Prendiamo come valore di h un numero positivo razionale che ci risulti comodo
h=(2-m²)/6m.
Avendo imposto m>1, si ha: m²>1, -m²<-1, 2-m²<1:
Pertanto (2-m²)²<2-m². Tenendo presente il quadrato di un binomio e le disuguaglianze precedenti, si ottiene:
(m+(2-m²)/6m)² = m²+(2-m²)²/36m²+(2-m²)/3 < m²+(2-m²)/36+(2-m²)/3 < m²+(2-m²)/3 =
= m²/2+1 < 1+1 = 2
quindi (m+(2-m²)/6m)² < 2, cioè (m+h)²<2
WonderP.
Se m è un numero razionale maggiore di 1 tale che m²<2, allora esistono numeri razionali positivi h tali che (m+h)²<2. Ciò sta ad affermare che posso trovare sempre un numero razionale più grande di qullo che ho già trovato, ma minore di radq(2).
Prendiamo come valore di h un numero positivo razionale che ci risulti comodo
h=(2-m²)/6m.
Avendo imposto m>1, si ha: m²>1, -m²<-1, 2-m²<1:
Pertanto (2-m²)²<2-m². Tenendo presente il quadrato di un binomio e le disuguaglianze precedenti, si ottiene:
(m+(2-m²)/6m)² = m²+(2-m²)²/36m²+(2-m²)/3 < m²+(2-m²)/36+(2-m²)/3 < m²+(2-m²)/3 =
= m²/2+1 < 1+1 = 2
quindi (m+(2-m²)/6m)² < 2, cioè (m+h)²<2
WonderP.
Grazie mille a tutti, siete grandi! [;)]
Anche io conoscevo una dimostrazione molto elegante e partiva dalla dimostrazione che non tutte le semirette razionali sono regolari. Ora devo tornare a lavoro, ma al massimo dopo la posto.
WonderP.
WonderP.
Per assurdo.
Supponiamo sqrt(2)=(p/q) con p e q primi tra loro, allora 2=p^2/q^2.
Ma anche p^2 e q^2 devono essere primi tra loro, tuttavia posso scrivere
p^2=2*q^2 da cui l'assurdo.
Supponiamo sqrt(2)=(p/q) con p e q primi tra loro, allora 2=p^2/q^2.
Ma anche p^2 e q^2 devono essere primi tra loro, tuttavia posso scrivere
p^2=2*q^2 da cui l'assurdo.
una delle dimostrazioni più eleganti della matematica...[:)]
Supponiamo che, per una coppia di numeri p e q, si abbia: (p/q)^2=2
Se così fosse il rapporto p/q può essere ridotto ai minimi termini: e si può dunque supporre che p e q non abbiano fattori in comune: ovvero non sono entrambi pari. Moltiplichiamo entrambi i membri per q^2: otteniamo p^2=2q^2. Al membro destro compare un fattore 2, quindi il membro sinistro (p^2) dovrà essere pari. E' facile vedere che se il quadrato di un numero è pari, anche il numero deve essere pari, dato che il quadrato di un numero dispari è sempre dispari. Dunque p dovrà essere pari e lo potremo scrivere nella forma p=2r. Avremo allora: p^2=4r^2. Sostituendo 4r^2 a p^2 nell'equazione precedente, otteniamo: 4r^2=2q^2, da cui semplificando, 2r^2=q^2. Questa equazione assomiglia all'equazione iniziale, p^2=2q^2, ma ora p e q si sono scambiati. Ma allora p e q avrebbero in comune il fattore 2, il che è impossibile. Ecco una contraddizione. Questa contraddizione mostra come l'assunzione che esista una frazione il cui quadrato sia uguale a 2 è assurda e impossibile.
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
Se così fosse il rapporto p/q può essere ridotto ai minimi termini: e si può dunque supporre che p e q non abbiano fattori in comune: ovvero non sono entrambi pari. Moltiplichiamo entrambi i membri per q^2: otteniamo p^2=2q^2. Al membro destro compare un fattore 2, quindi il membro sinistro (p^2) dovrà essere pari. E' facile vedere che se il quadrato di un numero è pari, anche il numero deve essere pari, dato che il quadrato di un numero dispari è sempre dispari. Dunque p dovrà essere pari e lo potremo scrivere nella forma p=2r. Avremo allora: p^2=4r^2. Sostituendo 4r^2 a p^2 nell'equazione precedente, otteniamo: 4r^2=2q^2, da cui semplificando, 2r^2=q^2. Questa equazione assomiglia all'equazione iniziale, p^2=2q^2, ma ora p e q si sono scambiati. Ma allora p e q avrebbero in comune il fattore 2, il che è impossibile. Ecco una contraddizione. Questa contraddizione mostra come l'assunzione che esista una frazione il cui quadrato sia uguale a 2 è assurda e impossibile.
Ciao, Ermanno.
"Il motore dell’invenzione matematica non è il ragionamento, ma l’immaginazione." Augustus De Morgan
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