Sottosuccessioni asintotiche
Posto questa mia congettura che non ho avuto ancora modo ne di provare ne di confutare.
Sia ${a_n}_n$ una successione di numeri reali tale che $lim_{n->+oo} a_n=0$. Allora, per ogni successione ${b_k}_k$ di numeri reali che tende a zero più velocemente di ${a_n}_n$ (ossia $lim_{n->+oo}b_n/(a_n)=0$) esiste una sottosuccessione di ${a_(n_k)}_k$ di ${a_n}_n$ asintotica a ${b_k}_k$ (cioè tale che $lim_{k->+oo} b_k/(a_(n_k))=1$).
Sia ${a_n}_n$ una successione di numeri reali tale che $lim_{n->+oo} a_n=0$. Allora, per ogni successione ${b_k}_k$ di numeri reali che tende a zero più velocemente di ${a_n}_n$ (ossia $lim_{n->+oo}b_n/(a_n)=0$) esiste una sottosuccessione di ${a_(n_k)}_k$ di ${a_n}_n$ asintotica a ${b_k}_k$ (cioè tale che $lim_{k->+oo} b_k/(a_(n_k))=1$).
Risposte
cmq non è ancora escluso che aggiungendo l'ipotesi che le successioni siano a termini positivi l'enunciato sia vero. Dopotutto, il controesempio dato è una caso particolare. Il caso interessante è quando le successioni sono 'mischiate' tra loro. Nel senso, se $a_n>0$ e $b_k le 0$ è ovvio che l'enunciato non vale perchè le due successioni stanno in regioni distinte. Con le ipotesi $a_n>0$ e $b_k>0$ ciò non accade più e la situazione si fa più interessante 
No è che la tua domanda sembrava avere un certo tono inquisitorio
Niente problemi. Solo una mia curiosità.
Mi autoquoto: "...intuitivamente sembra giusta..."
L' ho vista, e mi è sembrato verosimile che fosse vera, nulla di più, nulla di meno, non vedo dove sia il problema
L' ho vista, e mi è sembrato verosimile che fosse vera, nulla di più, nulla di meno, non vedo dove sia il problema
"eafkuor":
[quote="DavidHilbert"][quote="eafkuor"]Bhè, intuitivamente sembra giusta, ma ora non ho tempo per mettermi a provare a dimostrarla
...e invece è ovviamente (e sottolineo ovviamente!) falsa. Mi ero ripromesso che avrei evitato di intervenire sul topic, ma d'altronde si sa: la via per l'inferno è lastricata di buone intenzioni.[/quote]
azz, lo sapevo che facevo meglio a stare zitto
[/quote]Quindi hai tirato a indovinare, in pratica?
a questo punto non mi pronuncio 
e se aggiungo l'ipotesi $b_n$ non identicamente nulla? Anzi, supponiamo che ${a_n}_n$ e ${b_k}_k$ siano entrambe successioni a termini positivi.
Anzi, supponiamo che ${a_n}_n$ e ${b_k}_k$ siano entrambe successioni a termini positivi.
Eheh, è vero 
"amel":
Non vorrei dire una cavolata, ma per dimostrare che è falsa non basta prendere $a_n=1/n$ (o qualcosa d'altro non nullo) e $b_n=0$?
Esattamente, amel. Lo dicevo io ch'era proprio evidente...
Non vorrei dire una cavolata, ma per dimostrare che è falsa non basta prendere $a_n=1/n$ (o qualcosa d'altro non nullo) e $b_n=0$?
"DavidHilbert":
[quote="eafkuor"]Bhè, intuitivamente sembra giusta, ma ora non ho tempo per mettermi a provare a dimostrarla
...e invece è ovviamente (e sottolineo ovviamente!) falsa. Mi ero ripromesso che avrei evitato di intervenire sul topic, ma d'altronde si sa: la via per l'inferno è lastricata di buone intenzioni.[/quote]
azz, lo sapevo che facevo meglio a stare zitto
"DavidHilbert":
...e invece è ovviamente (e sottolineo ovviamente!) falsa.
controesempio, please!
"eafkuor":
Bhè, intuitivamente sembra giusta, ma ora non ho tempo per mettermi a provare a dimostrarla
...e invece è ovviamente (e sottolineo ovviamente!) falsa. Mi ero ripromesso che avrei evitato di intervenire sul topic, ma d'altronde si sa: la via per l'inferno è lastricata di buone intenzioni.
Bhè, intuitivamente sembra giusta, ma ora non ho tempo per mettermi a provare a dimostrarla
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo