Sottogruppo commutativo di matrici quadrate
Nel gruppo delle matrici quadrate, le matrici diagonali godono della proprieta commutativa della moltiplicazione; esiste un gruppo "più ampio" per il quale si possa dire la stessa cosa?
Ho il sospetto di sì, ma non riesco ad identificarlo
Grazie
Ho il sospetto di sì, ma non riesco ad identificarlo
Grazie
Risposte
"Luc@s":
[quote="desko"]
In fondo il prodotto fra due matrici quadrate equivale alla mltiplicazione termine a termine, operazione commutativa, a prescindere dagli scalari presenti lungo la diagonale.
a me risulta che il prodotto tra matrici sia un prodotto scalare...[/quote]
"Sergio":
[quote="Luc@s"]a me risulta che il prodotto tra matrici sia un prodotto scalare...
Sbaglierò, ma a me risulta che il prodotto tra due matrici quadrate di ordine $n$ sia... $n times n$ prodotti scalari.[/quote]
Scusate il lapsus: volevo dire matrici diagonali e non matrici quadrate.
"desko":
Umh ...
Mi sembra che Dorian abbia detto una cosa diversa: un matrice per commutare con ogni altra matrice deve essere un multiplo dell'unità.
(Dorian mi corregga se ho interpretato male).
A me interessa un'altra cosa: un sottoinsieme che commutino tutte fra di loro, all'interno del sottoinsieme, non con tutte le matrici.
In fondo il prodotto fra due matrici quadrate equivale alla mltiplicazione termine a termine, operazione commutativa, a prescindere dagli scalari presenti lungo la diagonale.
Se ho detto delle sciocchezze vi prego di scusarmi e correggermi. Grazie
Hai ragione ho frainteso...
Ho il sospetto che c'entrino molto autovettori e autovettori generalizzati. In effetti, se $A$ e $B$ sono diagonalizzabili, allora (se non sbaglio) se hanno gli stessi autovettori, commutano. Ma se non sono diagonalizzabili? Mmh... Non è che ne sappia molto per la verità di questi argomenti...
Ci penso un po' su... intanto se qualcuno sa rispondere in vece mia è decisamente meglio...
Scusa per averti fatto perdere tempo.
P.S.: Scusa l'inutile pignoleria, ma le matrici quadrate formano un monoide e non un gruppo con la moltiplicazione, quindi se vogliamo la struttura di gruppo dobbiamo restringerci alle matrici invertibili...
"desko":
In fondo il prodotto fra due matrici quadrate equivale alla mltiplicazione termine a termine, operazione commutativa, a prescindere dagli scalari presenti lungo la diagonale.
a me risulta che il prodotto tra matrici sia un prodotto scalare...
"amel":
[quote="desko"]
Grazie, non conoscevo questa nozione. Quindi solo il sottogruppo delle matrici diagonali.
Con tutti gli elementi sulla diagonale uguali, però... te l'ha detto pure Dorian...
[/quote]Umh ...
Mi sembra che Dorian abbia detto una cosa diversa: un matrice per commutare con ogni altra matrice deve essere un multiplo dell'unità.
(Dorian mi corregga se ho interpretato male).
A me interessa un'altra cosa: un sottoinsieme che commutino tutte fra di loro, all'interno del sottoinsieme, non con tutte le matrici.
In fondo il prodotto fra due matrici diagonali equivale alla mltiplicazione termine a termine, operazione commutativa, a prescindere dagli scalari presenti lungo la diagonale.
Se ho detto delle sciocchezze vi prego di scusarmi e correggermi. Grazie
edit: ho corretto, come da post successivi.
"desko":
Grazie, non conoscevo questa nozione. Quindi solo il sottogruppo delle matrici diagonali.
Con tutti gli elementi sulla diagonale uguali, però... te l'ha detto pure Dorian...
"vict85":
Perché non doveva essere in wiki!? Il centro di un gruppo è un argomento molto importante di teoria dei gruppi...
Intendevo proprio l'esempio che chiedeva desko...
Su molti libri di algebra quell'esempio preciso non si trova...
"amel":
Toh, c'è persino su Wikipedia, non credevo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Centro_di_un_gruppo
Ciao.
P.S.: Perchè l'hai messo in "Generale"?
Perché non doveva essere in wiki!? Il centro di un gruppo è un argomento molto importante di teoria dei gruppi...
"amel":
Toh, c'è persino su Wikipedia, non credevo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Centro_di_un_gruppo
Grazie, non conoscevo questa nozione. Quindi solo il sottogruppo delle matrici diagonali.
"amel":
P.S.: Perchè l'hai messo in "Generale"?
Dici che avrei dovuto metterlo in università?
Il fatto è che son cose che mi servono per lavoro e a volte ho il dubbio se si tratti di robe scolastiche, universitarie o ancora superiori.
Quindi di default uso la sezione generale. Penso che dovrei impegnarmi di più nella classificazione dei miei problemi.
però se prendi il sottoanello formato da tutte le matrici diagonali allora questo è l'unico anello commutativo delle matrici.
se invece vuoi che la matrice commuti con ogni altra matrice allora vedi Dorian.
se invece vuoi che la matrice commuti con ogni altra matrice allora vedi Dorian.
Siano $A=((1 0),(0 3))$, $B=((1 2),(3 4))$, allora:
$AB=((1 2),(9 12))$ mentre $BA=((1 6),(3 12))$
Essere diagonali non basta per commutare con ogni matrice... Bisogna che sulla diagonale principale compaia sempre lo stesso scalare... Cioè che la matrice in questione sia una matrice SCALARE...
$AB=((1 2),(9 12))$ mentre $BA=((1 6),(3 12))$
Essere diagonali non basta per commutare con ogni matrice... Bisogna che sulla diagonale principale compaia sempre lo stesso scalare... Cioè che la matrice in questione sia una matrice SCALARE...
Toh, c'è persino su Wikipedia, non credevo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Centro_di_un_gruppo
Ciao.
P.S.: Perchè l'hai messo in "Generale"?
http://it.wikipedia.org/wiki/Centro_di_un_gruppo
Ciao.
P.S.: Perchè l'hai messo in "Generale"?
$A*B=B*A<=>A*B*A=B*A^2<=>B*A*B*A=B^2*A^2<=>(B*A)^2=B^2*A^2
ora non mi vengono in mente soluzioni più tecniche... di sicuro possiamo escludere tutte le matrici triangolari superiori e inferiori.
ora non mi vengono in mente soluzioni più tecniche... di sicuro possiamo escludere tutte le matrici triangolari superiori e inferiori.
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