Sommatoria
Scrivere $sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}$ è la stessa cosa che scrivere $sum_{r,s=1}^{n}a_{rs}$? Io credo non siano la stessa cosa, ma onestamente non capisco cosa ci sia di diverso tra le due scritture.
Voi che dite?
Voi che dite?
Risposte
"Gugo82":
Ecco.
Quando trovi $\sum_{r,s=1,\ldots ,n}$ vuol dire che $r$ ed $s$ variano indipendentemente l'uno dall'altro in $\{ 1,\ldots ,n\}$, cosicché nessun termine della "doppia sommatoria" rimane escluso.
Per sommare solo gli addendi con $r=s$ potresti usare il simbolo $\sum_{\stackrel{r,s=1,\ldots ,n}{r=s}} a_{rs}$ che però è troppo complicato: in questo caso conviene scrivere semplicemente $\sum_{i=1}^n a_{ii}$.
Bene, bene. Grazie a entrambi. Buona serata.
"Gugo82":
[quote="matemix"]che ci vedi di diverso?
La Matematica è un gioco di simboli; è normale che ci si domandi cosa possa significare un simbolo mai incontrato prima ed è altrettanto normale che si confronti il nuovo simbolo con quelli dei quali è già noto il significato.[/quote]
appunto, nemmeno io ho incontrato la prima notazione, ma vedendola l'avrei assimilata all'altra... ecco perchè chiedevo quale fosse la differenza tra le due per WIZaRd. Per iuscire a capire perchè gli fosse venuto il dubbio... e perchè per lui non fossero uguali... tutto qui
Ecco. 
Quando trovi $\sum_{r,s=1,\ldots ,n}$ vuol dire che $r$ ed $s$ variano indipendentemente l'uno dall'altro in $\{ 1,\ldots ,n\}$, cosicché nessun termine della "doppia sommatoria" rimane escluso.
Per sommare solo gli addendi con $r=s$ potresti usare il simbolo $\sum_{\stackrel{r,s=1,\ldots ,n}{r=s}} a_{rs}$ che però è troppo complicato: in questo caso conviene scrivere semplicemente $\sum_{i=1}^n a_{ii}$.
Quando trovi $\sum_{r,s=1,\ldots ,n}$ vuol dire che $r$ ed $s$ variano indipendentemente l'uno dall'altro in $\{ 1,\ldots ,n\}$, cosicché nessun termine della "doppia sommatoria" rimane escluso.
Per sommare solo gli addendi con $r=s$ potresti usare il simbolo $\sum_{\stackrel{r,s=1,\ldots ,n}{r=s}} a_{rs}$ che però è troppo complicato: in questo caso conviene scrivere semplicemente $\sum_{i=1}^n a_{ii}$.
Spiego meglio la situazione.
Stavo iniziando la lettura di "Lezioni di Analisi Matematica" di C. Miranda (1973), quando a pagina 12 dice alcune cose sulle sommatorie.
Il buon Miranda piazza il simbolo di sommatoria consueto (i.e. $sum_{i=1}^{n}$), poi parla della doppia sommatoria, ponendo
$sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}=sum_{r=1}^{n}sum_{s=1}^{n}a_{rs} $
Fin quì tutto OK.
Poi ho pensato (e quì cominciano i casini) "Se al posto di fare $sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}$ uno scrive $sum_{r,s=1}^{n}a_{rs}$, scrive la stessa cosa?". Il motivo alla base di questa domanda è il fatto che non ho mai visto una doppia sommatoria ( 
).
Quando mi sono posto questa domanda (?!) mi sono risposto di no: "No, perché $sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}=a_11, a_12, a_13, cdots, a_21, a_22, a_23, cdots, a_(n n)$ mentre $sum_{r,s=1}^{n}a_{rs}=a_11, a_22, a_33, a_44, cdots, a_(n n)$, in sostanza la seconda lascia fuori le $a$ con $r!=s$!!!???..."
Poi ripensandoci stamattina sono arrivato alla vostra stessa conclusione, perché per lasciare fuori quelli che io pensavo venissero lasciati fuori sarebbe stato necessario porre un "vincolo" ad $r$ e $s$ del tipo $sum_{r=s=1}^{n}a_{rs}$, tra l'altro anche abbastanza inutile.
Spero di avere spiegato bene la genesi della domanda.
Grazie per le risposte.
Stavo iniziando la lettura di "Lezioni di Analisi Matematica" di C. Miranda (1973), quando a pagina 12 dice alcune cose sulle sommatorie.
Il buon Miranda piazza il simbolo di sommatoria consueto (i.e. $sum_{i=1}^{n}$), poi parla della doppia sommatoria, ponendo
$sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}=sum_{r=1}^{n}sum_{s=1}^{n}a_{rs} $
Fin quì tutto OK.
Poi ho pensato (e quì cominciano i casini
) "Se al posto di fare $sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}$ uno scrive $sum_{r,s=1}^{n}a_{rs}$, scrive la stessa cosa?". Il motivo alla base di questa domanda è il fatto che non ho mai visto una doppia sommatoria ( ).Quando mi sono posto questa domanda (?!) mi sono risposto di no: "No, perché $sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}=a_11, a_12, a_13, cdots, a_21, a_22, a_23, cdots, a_(n n)$ mentre $sum_{r,s=1}^{n}a_{rs}=a_11, a_22, a_33, a_44, cdots, a_(n n)$, in sostanza la seconda lascia fuori le $a$ con $r!=s$!!!???..."
Poi ripensandoci stamattina sono arrivato alla vostra stessa conclusione, perché per lasciare fuori quelli che io pensavo venissero lasciati fuori sarebbe stato necessario porre un "vincolo" ad $r$ e $s$ del tipo $sum_{r=s=1}^{n}a_{rs}$, tra l'altro anche abbastanza inutile.
Spero di avere spiegato bene la genesi della domanda.
Grazie per le risposte.
"WiZaRd":
Scrivere $sum_{r,s}^{1,2,ldots,n}a_{rs}$ è la stessa cosa che scrivere $sum_{r,s=1}^{n}a_{rs}$?
Sinceramente la prima notazione non l'ho mai incontrata, WiZ; al massimo ho trovato $sum_{r,s=1,\ldots ,n}a_{rs}$.
Comunque penso che i due simboli denotino la stessissima cosa.
"matemix":
che ci vedi di diverso?
La Matematica è un gioco di simboli; è normale che ci si domandi cosa possa significare un simbolo mai incontrato prima ed è altrettanto normale che si confronti il nuovo simbolo con quelli dei quali è già noto il significato.
che ci vedi di diverso?
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