Sommando i numeri dispari

[francowr]

Ciao a tutti,
mi chiamo Franco e sono uno studente di ingegneria. è la prima volta che scrivo a questo forum, quindi non so bene dove postare il mio argomento, quindi la ho postata qui.
Dunque oggi "giocando" con la calcolatrice ho notato che sommando in serie i numeri dispari si ottengono sempre quadrati perfetti:
Esempi:
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
Qualcuno mi sa dire qualcosa di più su questa serie e se può spiegarmi questa particolarità dei quadrati perfetti.
Grazie!
CIAO!!!

[giacor86]

credo che in questa scoperta empirica si siano inbattuti tutti una volta nella vita...

[francowr]

Grazie per entrambi le risposte e per la tempestività(!)
In particolare mi sono piaciute le ultime 2!
Siete davvero bravi, penso che seguiro ancora spesso il vostro forum.
CIAO!

[TomSawyer1]

Io ho fatto:

1 3 5 7
7 5 3 1
-----------
8 8 8 8

Quindi $1+3+5+7=(4*8)/2=4^2$. Facilmente generalizzabile.

[Nidhogg]

Allora sappiamo che la somma dei primi n numeri naturali è $(n*(n+1))/2$. Poi sappiamo che ogni numero dispari è in forma $2*k+1$ per ogni $k in NN$, cioè $k+(k+1)$. Ora la somma dei primi n numeri dispari è $(2n(n+1))/2+n+1$, cioè $n^2+2n+1$, e quindi $(n+1)^2$.

Ciao!

[TomSawyer1]

Per induzione la somma dei primi $n$ numeri dispari $S_n=n^2$. Quindi la tua risposta.